Teorema de Taylor: fórmula del resto y cota del error con ejemplos
El teorema de Taylor con el resto de Lagrange: qué tan cerca está un polinomio de Taylor de f(x). Enunciado, cota del error, gráfica y ejemplos con e y sen x.
Teoremas de series y varias variables Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Hipótesis
- f tiene n + 1 derivadas en un intervalo abierto I que contiene a a, y x está en I
- Polinomio de Taylor
- P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k
- Resto (forma de Lagrange)
- R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} para algún c entre a y x
- Cota del error
- |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1} donde |f^{(n+1)}| \le M
- Caso n = 0
- El teorema del valor medio
- Curso
- Cálculo 2
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El teorema de Taylor dice que una función suave es igual a su polinomio de Taylor más un término de error, y le da a ese término de error una forma exacta. Así, la idea de que "el polinomio de Taylor es una buena aproximación" se convierte en un número garantizado de decimales correctos.
Enunciado del teorema de Taylor
Supongamos que f tiene derivadas hasta el orden n + 1 en un intervalo abierto I que contiene a a. Sea
el polinomio de Taylor de grado n de f en a. Entonces, para cada x en I existe un número c entre a y x tal que
Esta es la forma de Lagrange del resto. Cuando a = 0, el polinomio se llama polinomio de Maclaurin.
Desigualdad de Taylor (la cota del error)
Casi nunca conoces c, así que en su lugar acotas la derivada. Si |f^{(n+1)}(t)| \le M para todo t entre a y x, entonces
La cota se hace pequeña rápidamente porque (n+1)! crece más deprisa que cualquier potencia.
Qué significa el teorema de Taylor
El resto se parece exactamente al siguiente término de la serie de Taylor, salvo que la derivada se evalúa en algún punto c en lugar de en a. Para n = 0 el enunciado es f(x) = f(a) + f'(c)(x - a), que es el teorema del valor medio. El teorema de Taylor es su versión de orden superior.
Por qué importan las hipótesis
Suficientes derivadas. La fórmula del resto usa f^{(n+1)}. Para f(x) = |x| en a = 0, f'(0) no existe, así que ni siquiera hay un polinomio de Taylor de grado 1.
Un resto que no disminuye. El teorema de Taylor siempre se cumple cuando se cumplen sus hipótesis, pero no promete que el error tienda a 0. La función f(x) = e^{-1/x^2} (con f(0) = 0) tiene todas sus derivadas iguales a 0 en x = 0, así que todos sus polinomios de Taylor en 0 son el polinomio cero. El resto R_n(x) = f(x) nunca disminuye, y la serie de Taylor converge a 0, no a f. Una función es igual a su serie de Taylor solo cuando R_n(x) \to 0.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: aproxima e con P_4 y acota el error.
Paso 1. Para f(x) = e^x en a = 0, todas las derivadas son e^x y valen 1 en 0. Así que
Paso 2. En [0, 1], f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3, así que tomamos M = 3.
Paso 3. |R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025.
El error real es e - 2.70833 \approx 0.00995, holgadamente dentro de la cota.
Ejemplo 2: \sin(0.1) con gran precisión.
El polinomio de Maclaurin P_3(x) = x - \frac{x^3}{6} da \sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333. Como el coeficiente de x^4 del seno es 0, P_4 = P_3, así que podemos usar R_4. Todas las derivadas de \sin están acotadas por M = 1:
Por tanto, 0.0998333 es correcto al menos hasta el sexto decimal.
Ejemplo 3: ¿cuántos términos para e^{0.5} con error menor que 0.001?
En [0, 0.5], e^t \le e^{0.5} < 2, así que |R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}.
| n | Cota \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!} |
|---|---|
| 2 | \frac{2(0.125)}{6} \approx 0.042 |
| 3 | \frac{2(0.0625)}{24} \approx 0.0052 |
| 4 | \frac{2(0.03125)}{120} \approx 0.00052 |
La cota baja de 0.001 por primera vez en n = 4, así que P_4(0.5) es suficientemente preciso.
Errores comunes
- Usar (n)! en lugar de (n+1)!. El resto tras un polinomio de grado n usa la derivada de orden (n+1) y (n+1)!.
- Acotar la derivada solo en a. M debe acotar |f^{(n+1)}| en todo el intervalo entre a y x.
- Suponer que la serie de Taylor siempre es igual a f. Solo lo es cuando el resto tiende a 0.
Teoremas y guías relacionados
El teorema de Taylor generaliza el teorema del valor medio. Para construir los propios polinomios y series, consulta series de Taylor y series de potencias. En varias variables, el desarrollo de Taylor de segundo orden usa derivadas parciales mixtas, que según el teorema de Clairaut pueden calcularse en cualquier orden.
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