Gaußscher Integralsatz (Divergenzsatz): Aussage und Beispiele

Der Gaußsche Integralsatz, auch Divergenzsatz oder Satz von Gauß genannt, besagt, dass der gesamte Fluss eines Vektorfelds aus einer geschlossenen Fläche heraus gleich der gesamten Divergenz des Felds im Inneren ist. Was durch die Hülle nach außen strömt, muss von Quellen im Inneren erzeugt werden.

Aussage des Gaußschen Integralsatzes

Sei

1. E ein Körper im Raum, dessen Rand S eine geschlossene, stückweise glatte Fläche ist,
2. S mit dem nach außen zeigenden Normalenvektor \mathbf{n} orientiert, und
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle ein Feld mit stetigen partiellen Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das E enthält.

Dann gilt

Dabei ist \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS der nach außen gerichtete Fluss.

Was der Gaußsche Integralsatz bedeutet

Stell dir \mathbf{F} als Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit vor. Die Divergenz in einem Punkt ist die Rate, mit der dort pro Volumeneinheit Flüssigkeit entsteht: positiv an einer Quelle, negativ an einer Senke. Summiert man alles, was im Inneren des Körpers entsteht, erhält man die Gesamtmenge, die durch seine Oberfläche austritt. Wie beim Satz von Green heben sich die Flüsse durch alle inneren Wände zwischen winzigen Quadern gegenseitig auf, und nur der äußere Rand bleibt übrig.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Glattheit im Inneren. Das Feld \mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3} mit \mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle, dessen Stärke mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, hat überall \nabla\cdot\mathbf{F} = 0, außer im Ursprung, wo die Divergenz nicht definiert ist. Auf der Einheitskugel gilt jedoch \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1, also ist der Fluss gleich dem Flächeninhalt 4\pi und nicht 0. Der Satz versagt, weil E den singulären Punkt enthält. Genau das ist das Gaußsche Gesetz: Der Fluss misst die Punktladung im Inneren.

Eine geschlossene Fläche. Der Fluss durch eine offene Fläche wie eine Halbkugel ist nicht allein durch die Divergenz bestimmt. Schließe die Fläche zuerst.

Orientierung nach außen. Mit nach innen zeigenden Normalen ändert der Fluss sein Vorzeichen.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: \mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle durch eine Kugel mit Radius R.

Schritt 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3.

Schritt 2. \iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3.

Direkte Probe. Auf der Kugel ist \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}, also \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R. Der Fluss ist R mal der Flächeninhalt 4\pi R^2, also 4\pi R^3.

Beispiel 2: \mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle durch die Einheitskugel.

\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2 in Kugelkoordinaten. Dann gilt

Diesen Fluss als Oberflächenintegral zu berechnen, wäre deutlich aufwendiger.

Beispiel 3: ein Würfel mit sechs Seitenflächen. Bestimme den nach außen gerichteten Fluss von \mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle durch die Oberfläche des Einheitswürfels [0, 1]^3.

Schritt 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1.

Schritt 2. Integriere Term für Term über den Würfel (jede andere Variable liefert beim Integrieren 1):

Ein Dreifachintegral ersetzt sechs einzelne Oberflächenintegrale.

Häufige Fehler

1. Den Satz auf eine offene Fläche anwenden. Der Satz braucht den geschlossenen Rand eines Körpers.
2. Eine Singularität übersehen. Prüfe, ob \mathbf{F} in jedem Punkt im Inneren definiert und glatt ist, besonders im Ursprung.
3. Divergenz und Rotation verwechseln. Die Divergenz ist ein Skalar, P_x + Q_y + R_z; die Rotation ist ein Vektor und gehört zum Satz von Stokes.

Verwandte Sätze und Anleitungen

Der Gaußsche Integralsatz, der Satz von Stokes und der Satz von Green sind alle Varianten einer Idee: Das Integral einer Ableitung über ein Gebiet ist gleich dem Integral des ursprünglichen Felds über den Rand, genau wie beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Für die Seite mit dem Dreifachintegral beginne mit Doppelintegralen, und zu Vektoroperationen siehe Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt.