Regla de L'Hôpital: cuándo y cómo usarla, con ejemplos

Algunos límites no se dejan vencer con álgebra. No puedes factorizar \frac{e^x - 1}{x}, y no hay conjugado que domine \frac{x^2}{e^x}. La regla de L'Hôpital resuelve estos casos en pocas líneas cambiando la fracción original por una fracción de derivadas. Es poderosa, pero tiene condiciones estrictas, y usarla en el momento equivocado produce respuestas incorrectas dichas con total seguridad.

Qué dice la regla de L'Hôpital

Supón que f y g son derivables cerca de a (salvo quizá en a), con g'(x) \neq 0 cerca de a. Si

entonces

siempre que el límite de la derecha exista (o sea \pm\infty). La misma regla vale para límites laterales y para x \to \pm\infty.

En palabras sencillas: cuando el numerador y el denominador tienden ambos a 0, o ambos crecen sin control, el límite lo decide qué tan rápido cambia cada uno. Eso es exactamente lo que miden las derivadas.

Consejo: deriva el numerador y el denominador por separado. No estás derivando la fracción, así que la regla del cociente no tiene nada que ver aquí.

Por qué funciona

Cerca de x = a, una función derivable es casi una recta: f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). En el caso \frac{0}{0} se tiene f(a) = g(a) = 0, así que

Los factores (x - a) se cancelan y queda el cociente de las pendientes. La demostración completa usa el teorema del valor medio de Cauchy, pero esta imagen explica la idea.

Cómo aplicar la regla de L'Hôpital paso a paso

1. Sustituye para identificar la forma. Si no es \frac{0}{0} ni \frac{\infty}{\infty}, detente: la regla no se aplica.
2. Deriva el numerador y el denominador por separado.
3. Calcula el límite de la nueva fracción. Simplifica antes si puedes.
4. Si el nuevo límite es otra vez \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}, aplica la regla de nuevo. Si no, ya tienes la respuesta.

Ejemplo resuelto 1: un límite 0/0

Calcula \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.

Paso 1. Revisa la forma. \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}. La regla se aplica.

Paso 2. Deriva el numerador y el denominador. \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x y \frac{d}{dx}(x) = 1.

Paso 3. Calcula el nuevo límite.

Ejemplo resuelto 2: aplicar la regla dos veces

Calcula \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}.

Paso 1. Revisa la forma. \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}.

Paso 2. Primera aplicación.

Paso 3. Revisa la forma otra vez. \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}. Sigue siendo indeterminada, así que aplica la regla de nuevo.

Paso 4. Segunda aplicación.

Ejemplo resuelto 3: un límite ∞/∞

Calcula \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}.

Paso 1. Revisa la forma. Tanto x^2 como e^x crecen sin límite: \frac{\infty}{\infty}.

Paso 2. Primera aplicación. \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}, que sigue siendo \frac{\infty}{\infty}.

Paso 3. Segunda aplicación. \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}. Ahora el numerador es constante y el denominador crece sin límite.

El mismo argumento, repetido n veces, muestra que \frac{x^n}{e^x} \to 0 para toda potencia n. Las exponenciales le ganan a los polinomios, y por eso la gráfica de abajo sube al principio pero termina aplastada hacia 0.

Otras formas indeterminadas

La regla de L'Hôpital solo funciona con fracciones. Las demás formas indeterminadas hay que reescribirlas primero como \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}.

Ejemplo resuelto 4: la forma 0 · ∞

Calcula \lim_{x \to 0^+} x \ln x.

Paso 1. Identifica la forma. x \to 0 y \ln x \to -\infty: es 0 \cdot \infty.

Paso 2. Reescribe como fracción. Divide entre el recíproco de x:

que tiene la forma \frac{-\infty}{\infty}.

Paso 3. Aplica la regla.

Así que x \ln x \to 0. La x se encoge más rápido de lo que \ln x se dispara.

Ejemplo resuelto 5: la forma ∞ − ∞

Calcula \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right).

Paso 1. Combina en una sola fracción.

En x = 0 esto es \frac{0}{0}.

Paso 2. Primera aplicación. La derivada del denominador x e^x - x es e^x + x e^x - 1:

sigue siendo \frac{0}{0}.

Paso 3. Segunda aplicación.

Ejemplo resuelto 6: la forma 1^∞

Calcula \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x.

Paso 1. Identifica la forma. La base tiende a 1 y el exponente a \infty. Es 1^\infty, que no vale 1 automáticamente.

Paso 2. Toma el logaritmo natural. Sea y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x. Entonces

que tiene la forma \frac{0}{0}.

Paso 3. Aplica la regla. La derivada del numerador es \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) y la derivada del denominador es -\frac{1}{x^2}. Comparten el factor -\frac{1}{x^2}, así que

Paso 4. Deshaz el logaritmo. Como \ln y \to 1, obtenemos y \to e^1:

Esta es una de las definiciones clásicas de e. El mismo método da \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k, y \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1.

Cuándo no usar la regla de L'Hôpital

Cuando el límite no es indeterminado

Considera \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}. La sustitución directa da \frac{1}{2}, y esa es la respuesta. Si aplicas la regla por error, obtienes \frac{1}{1} = 1, que es falso. Revisa siempre la forma primero.

Cuando las derivadas dan vueltas en círculo

Para \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}, una aplicación da \frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, la fracción original al revés. Una segunda aplicación la vuelve a voltear. La salida es el álgebra: divide numerador y denominador entre x para obtener \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1.

Cuando el nuevo límite no existe

Para \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}, la regla da \lim (1 + \cos x), que oscila y no existe. Eso no significa que el límite original no exista. Dividir entre x da 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1. La regla solo garantiza una respuesta cuando el nuevo límite existe.

Cuando el álgebra es más sencilla

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} sale más rápido factorizando, y los límites de funciones racionales en el infinito salen más rápido con las reglas de los grados. La regla de L'Hôpital es una herramienta, no un reflejo.

Errores comunes con la regla de L'Hôpital

1. Usar la regla del cociente. Deriva el numerador y el denominador por separado.
2. Saltarse la revisión de la forma. Aplicar la regla a un límite determinado da una respuesta incorrecta.
3. Aplicarla directamente a productos, diferencias o potencias. Reescribe primero 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0 e \infty^0 como fracciones.
4. Olvidar exponenciar. Con el método del logaritmo, el límite de \ln y no es la respuesta final. Eleva e a ese valor.
5. Suponer que 1^\infty = 1. Puede valer cualquier número positivo, como muestra e^k.

Referencia rápida

Practica hasta que revisar la forma sea automático

Lo difícil de la regla de L'Hôpital no son las derivadas. Es reconocer la forma, reescribirla correctamente y saber cuándo parar. La lección interactiva de abajo te da una mezcla de formas indeterminadas, revisa cada paso al instante y te señala exactamente dónde se te pasó revisar la forma o tomar un logaritmo.