Regra de L'Hôpital: quando e como usar, com exemplos
Aprenda a regra de L'Hôpital para limites 0/0 e ∞/∞, como tratar as formas 0·∞, ∞ − ∞ e 1^∞, exemplos resolvidos e quando a regra não se aplica.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 7 min de leitura
Nesta página
- O que diz a regra de L'Hôpital
- Como aplicar a regra de L'Hôpital passo a passo
- Exemplo resolvido 1: um limite 0/0
- Exemplo resolvido 2: aplicando a regra duas vezes
- Exemplo resolvido 3: um limite ∞/∞
- Outras formas indeterminadas
- Quando não usar a regra de L'Hôpital
- Erros comuns com a regra de L'Hôpital
- Resumo rápido
- Pratique até a conferência da forma virar automática
Alguns limites não se rendem à álgebra. Não dá para fatorar \frac{e^x - 1}{x}, e não existe conjugado que dome \frac{x^2}{e^x}. A regra de L'Hôpital resolve esses casos em poucas linhas, trocando a fração original por uma fração de derivadas. Ela é poderosa, mas tem condições rígidas, e usá-la na hora errada produz respostas erradas com toda a confiança.
O que diz a regra de L'Hôpital
Suponha que f e g sejam diferenciáveis perto de a (exceto talvez em a), com g'(x) \neq 0 perto de a. Se
então
desde que o limite da direita exista (ou seja \pm\infty). A mesma regra vale para limites laterais e para x \to \pm\infty.
Em linguagem simples: quando o numerador e o denominador tendem ambos a 0, ou ambos explodem, o limite é decidido pela rapidez com que cada um varia. É exatamente isso que as derivadas medem.
Dica: derive o numerador e o denominador separadamente. Você não está derivando a fração, então a regra do quociente não tem nada a ver com isso.
Por que funciona
Perto de x = a, uma função diferenciável é quase uma reta: f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). No caso \frac{0}{0} temos f(a) = g(a) = 0, então
Os fatores (x - a) se cancelam e sobra a razão entre as inclinações. A demonstração completa usa o teorema do valor médio de Cauchy, mas essa imagem explica a ideia.
Como aplicar a regra de L'Hôpital passo a passo
- Substitua para identificar a forma. Se não for \frac{0}{0} nem \frac{\infty}{\infty}, pare: a regra não se aplica.
- Derive o numerador e o denominador separadamente.
- Calcule o limite da nova fração. Simplifique antes, se puder.
- Se o novo limite for de novo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, aplique a regra outra vez. Caso contrário, você tem a resposta.
Exemplo resolvido 1: um limite 0/0
Calcule \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.
Passo 1. Confira a forma. \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}. A regra se aplica.
Passo 2. Derive numerador e denominador. \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x e \frac{d}{dx}(x) = 1.
Passo 3. Calcule o novo limite.
Exemplo resolvido 2: aplicando a regra duas vezes
Calcule \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}.
Passo 1. Confira a forma. \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}.
Passo 2. Primeira aplicação.
Passo 3. Confira a forma de novo. \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}. Continua indeterminado, então aplique a regra outra vez.
Passo 4. Segunda aplicação.
Exemplo resolvido 3: um limite ∞/∞
Calcule \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}.
Passo 1. Confira a forma. Tanto x^2 quanto e^x crescem sem limite: \frac{\infty}{\infty}.
Passo 2. Primeira aplicação. \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}, que ainda é \frac{\infty}{\infty}.
Passo 3. Segunda aplicação. \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}. Agora o numerador é constante e o denominador cresce sem limite.
O mesmo argumento, repetido n vezes, mostra que \frac{x^n}{e^x} \to 0 para qualquer potência n. Exponenciais vencem polinômios, e é por isso que o gráfico abaixo sobe no início mas acaba esmagado em direção a 0.
Outras formas indeterminadas
A regra de L'Hôpital só funciona com frações. As outras formas indeterminadas precisam ser reescritas como \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty} antes.
| Forma | Exemplo | Como reescrever |
|---|---|---|
| 0 \cdot \infty | x \ln x quando x \to 0^+ | Leve um fator para o denominador: \frac{\ln x}{1/x} |
| \infty - \infty | \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} quando x \to 0^+ | Junte numa única fração |
| 1^\infty | \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x quando x \to \infty | Aplique \ln e reescreva como fração |
| 0^0 | x^x quando x \to 0^+ | Aplique \ln e reescreva como fração |
| \infty^0 | x^{1/x} quando x \to \infty | Aplique \ln e reescreva como fração |
Exemplo resolvido 4: a forma 0 · ∞
Calcule \lim_{x \to 0^+} x \ln x.
Passo 1. Identifique a forma. x \to 0 e \ln x \to -\infty: isso é 0 \cdot \infty.
Passo 2. Reescreva como fração. Divida pelo inverso de x:
que tem a forma \frac{-\infty}{\infty}.
Passo 3. Aplique a regra.
Então x \ln x \to 0. O x encolhe mais rápido do que \ln x explode.
Exemplo resolvido 5: a forma ∞ − ∞
Calcule \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right).
Passo 1. Junte numa única fração.
Em x = 0 isso é \frac{0}{0}.
Passo 2. Primeira aplicação. A derivada do denominador x e^x - x é e^x + x e^x - 1:
ainda \frac{0}{0}.
Passo 3. Segunda aplicação.
Exemplo resolvido 6: a forma 1^∞
Calcule \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x.
Passo 1. Identifique a forma. A base tende a 1 e o expoente a \infty. Isso é 1^\infty, que não é automaticamente 1.
Passo 2. Aplique o logaritmo natural. Seja y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x. Então
que tem a forma \frac{0}{0}.
Passo 3. Aplique a regra. A derivada do numerador é \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) e a derivada do denominador é -\frac{1}{x^2}. Elas têm o fator -\frac{1}{x^2} em comum, então
Passo 4. Desfaça o logaritmo. Como \ln y \to 1, obtemos y \to e^1:
Essa é uma das definições clássicas de e. O mesmo método dá \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k e \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1.
Quando não usar a regra de L'Hôpital
Quando o limite não é indeterminado
Considere \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}. A substituição direta dá \frac{1}{2}, e essa é a resposta. Se você aplicar a regra mesmo assim, por engano, obtém \frac{1}{1} = 1, o que é falso. Sempre confira a forma primeiro.
Quando as derivadas andam em círculos
Para \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}, uma aplicação dá \frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, a fração original de cabeça para baixo. Uma segunda aplicação a desvira de volta. A saída é a álgebra: divida numerador e denominador por x para obter \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1.
Quando o novo limite não existe
Para \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}, a regra dá \lim (1 + \cos x), que oscila e não existe. Isso não significa que o limite original não exista. Dividindo por x obtemos 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1. A regra só garante uma resposta quando o novo limite existe.
Quando a álgebra é mais simples
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} sai mais rápido fatorando, e limites de funções racionais no infinito saem mais rápido com as regras dos graus. A regra de L'Hôpital é uma ferramenta, não um reflexo.
Erros comuns com a regra de L'Hôpital
- Usar a regra do quociente. Derive numerador e denominador separadamente.
- Pular a conferência da forma. Aplicar a regra a um limite determinado dá uma resposta errada.
- Aplicá-la diretamente a produtos, diferenças ou potências. Reescreva 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0 e \infty^0 como frações primeiro.
- Esquecer de exponenciar. No método do logaritmo, o limite de \ln y não é a resposta final. Eleve e a ele.
- Supor que 1^\infty = 1. Pode ser igual a qualquer número positivo, como mostra e^k.
Resumo rápido
| Limite | Forma | Resultado |
|---|---|---|
| \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} | \frac{0}{0} | 1 |
| \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} | \frac{0}{0} | \frac{1}{2} |
| \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} | \frac{\infty}{\infty} | 0 |
| \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} | \frac{\infty}{\infty} | 0 |
| \lim_{x \to 0^+} x \ln x | 0 \cdot \infty | 0 |
| \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x | 1^\infty | e |
| \lim_{x \to 0^+} x^x | 0^0 | 1 |
Pratique até a conferência da forma virar automática
A parte difícil da regra de L'Hôpital não são as derivadas. É reconhecer a forma, reescrevê-la corretamente e saber quando parar. A lição interativa abaixo traz uma mistura de formas indeterminadas, confere cada passo na hora e aponta exatamente onde faltou conferir a forma ou aplicar o logaritmo.
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Regra de L'Hôpital
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