Règle de L'Hôpital : quand et comment l'utiliser, avec exemples

Certaines limites résistent à l'algèbre. On ne peut pas factoriser \frac{e^x - 1}{x}, et aucune expression conjuguée ne vient à bout de \frac{x^2}{e^x}. La règle de L'Hôpital les règle en quelques lignes en remplaçant la fraction de départ par une fraction de dérivées. Elle est puissante, mais ses conditions sont strictes, et l'utiliser au mauvais moment donne des réponses fausses avec beaucoup d'assurance.

Ce que dit la règle de L'Hôpital

Supposons que f et g sont dérivables au voisinage de a (sauf peut-être en a), avec g'(x) \neq 0 au voisinage de a. Si

alors

pourvu que la limite de droite existe (ou vaille \pm\infty). La même règle vaut pour les limites à gauche et à droite et pour x \to \pm\infty.

En langage courant : quand le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0, ou explosent tous les deux, la limite dépend de la vitesse à laquelle chacun varie. C'est exactement ce que mesurent les dérivées.

Astuce : dérivez le numérateur et le dénominateur séparément. Vous ne dérivez pas la fraction, donc la règle du quotient n'a rien à faire ici.

Pourquoi ça marche

Au voisinage de x = a, une fonction dérivable est presque une droite : f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). Dans le cas \frac{0}{0}, on a f(a) = g(a) = 0, donc

Les facteurs (x - a) se simplifient, et il reste le rapport des pentes. La démonstration complète utilise le théorème des accroissements finis généralisé (de Cauchy), mais cette image résume l'idée.

Appliquer la règle de L'Hôpital pas à pas

1. Substituez pour identifier la forme. Si ce n'est ni \frac{0}{0} ni \frac{\infty}{\infty}, arrêtez : la règle ne s'applique pas.
2. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément.
3. Calculez la limite de la nouvelle fraction. Simplifiez d'abord si possible.
4. Si la nouvelle limite est encore de la forme \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, appliquez à nouveau la règle. Sinon, vous avez votre réponse.

Exemple corrigé 1 : une limite 0/0

Calculez \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.

Étape 1. Vérifier la forme. \frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}. La règle s'applique.

Étape 2. Dériver le numérateur et le dénominateur. \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x et \frac{d}{dx}(x) = 1.

Étape 3. Calculer la nouvelle limite.

Exemple corrigé 2 : appliquer la règle deux fois

Calculez \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}.

Étape 1. Vérifier la forme. \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}.

Étape 2. Première application.

Étape 3. Vérifier à nouveau la forme. \frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}. C'est toujours indéterminé, donc on applique de nouveau la règle.

Étape 4. Deuxième application.

Exemple corrigé 3 : une limite ∞/∞

Calculez \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}.

Étape 1. Vérifier la forme. x^2 et e^x croissent tous deux sans limite : \frac{\infty}{\infty}.

Étape 2. Première application. \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}, encore de la forme \frac{\infty}{\infty}.

Étape 3. Deuxième application. \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}. Le numérateur est maintenant constant et le dénominateur tend vers l'infini.

Le même raisonnement, répété n fois, montre que \frac{x^n}{e^x} \to 0 pour toute puissance n. L'exponentielle l'emporte sur les polynômes (croissances comparées), c'est pourquoi la courbe ci-dessous monte d'abord, puis finit écrasée vers 0.

Les autres formes indéterminées

La règle de L'Hôpital ne fonctionne que sur des fractions. Les autres formes indéterminées doivent d'abord être réécrites sous la forme \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}.

Exemple corrigé 4 : la forme 0 · ∞

Calculez \lim_{x \to 0^+} x \ln x.

Étape 1. Identifier la forme. x \to 0 et \ln x \to -\infty : c'est une forme 0 \cdot \infty.

Étape 2. Écrire une fraction. On divise par l'inverse de x :

qui est de la forme \frac{-\infty}{\infty}.

Étape 3. Appliquer la règle.

Donc x \ln x \to 0. Le facteur x rétrécit plus vite que \ln x n'explose.

Exemple corrigé 5 : la forme ∞ − ∞

Calculez \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right).

Étape 1. Mettre au même dénominateur.

En x = 0, c'est de la forme \frac{0}{0}.

Étape 2. Première application. La dérivée du dénominateur x e^x - x est e^x + x e^x - 1 :

encore de la forme \frac{0}{0}.

Étape 3. Deuxième application.

Exemple corrigé 6 : la forme 1^∞

Calculez \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x.

Étape 1. Identifier la forme. La base tend vers 1 et l'exposant vers \infty. C'est une forme 1^\infty, qui ne vaut pas automatiquement 1.

Étape 2. Passer au logarithme népérien. Posons y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x. Alors

qui est de la forme \frac{0}{0}.

Étape 3. Appliquer la règle. La dérivée du numérateur est \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) et celle du dénominateur est -\frac{1}{x^2}. Elles ont en commun le facteur -\frac{1}{x^2}, donc

Étape 4. Revenir à l'exponentielle. Comme \ln y \to 1, on obtient y \to e^1 :

C'est l'une des définitions classiques de e. La même méthode donne \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k, et \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1.

Quand ne pas utiliser la règle de L'Hôpital

Quand la limite n'est pas indéterminée

Prenons \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}. La substitution directe donne \frac{1}{2}, et c'est la réponse. Si l'on applique quand même la règle à tort, on obtient \frac{1}{1} = 1, ce qui est faux. Vérifiez toujours la forme d'abord.

Quand les dérivées tournent en rond

Pour \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}, une application donne \frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, c'est-à-dire la fraction de départ renversée. Une deuxième application la remet à l'endroit. L'algèbre permet d'en sortir : en divisant le numérateur et le dénominateur par x, on obtient \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1.

Quand la nouvelle limite n'existe pas

Pour \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}, la règle donne \lim (1 + \cos x), qui oscille et n'existe pas. Cela ne veut pas dire que la limite de départ n'existe pas. En divisant par x, on obtient 1 + \frac{\sin x}{x} \to 1. La règle ne garantit une réponse que si la nouvelle limite existe.

Quand l'algèbre est plus simple

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} se calcule plus vite en factorisant, et les limites de fonctions rationnelles à l'infini se calculent plus vite avec les règles sur les degrés. La règle de L'Hôpital est un outil, pas un réflexe.

Erreurs fréquentes avec la règle de L'Hôpital

1. Utiliser la règle du quotient. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément.
2. Sauter la vérification de la forme. Appliquer la règle à une limite déterminée donne une réponse fausse.
3. L'appliquer directement à des produits, des différences ou des puissances. Réécrivez d'abord 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0 et \infty^0 sous forme de fraction.
4. Oublier de repasser à l'exponentielle. Avec la méthode du logarithme, la limite de \ln y n'est pas la réponse finale. Il faut élever e à cette puissance.
5. Croire que 1^\infty = 1. Cette forme peut valoir n'importe quel nombre positif, comme le montre e^k.

Mémo

Entraînez-vous jusqu'à vérifier la forme par réflexe

La difficulté de la règle de L'Hôpital, ce ne sont pas les dérivées. C'est de reconnaître la forme, de la réécrire correctement et de savoir quand s'arrêter. La leçon interactive ci-dessous vous propose un mélange de formes indéterminées, vérifie chaque étape instantanément et vous montre exactement où une vérification de forme ou un passage au logarithme a été oublié.