Trazado de curvas: criterios de la primera y la segunda derivada

Una calculadora gráfica dibuja una curva en un segundo, así que ¿para qué trazarla a mano? Porque la calculadora no te dice por qué la curva tiene esa forma, dónde gira exactamente ni si una ondulación fuera de la pantalla esconde un máximo. Las derivadas responden todo eso. Con f' y f'' puedes predecir la forma exacta de una gráfica antes de marcar un solo punto, y las preguntas de examen sobre esto son de los puntos más predecibles que puedes ganar.

Lo que te dicen la primera y la segunda derivada

Trazar una curva significa usar las derivadas para averiguar dónde sube y baja una gráfica, dónde gira y cómo se curva. Cada derivada responde una pregunta:

• La primera derivada f' es la pendiente. Donde f'(x) > 0 la función es creciente; donde f'(x) < 0 es decreciente.
• La segunda derivada f'' es la tasa de cambio de la pendiente. Donde f''(x) > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba (con forma de taza); donde f''(x) < 0 es cóncava hacia abajo (con forma de gorro).

Un punto crítico es un x del dominio donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe. Son los únicos lugares donde una función suave puede dar la vuelta. Un punto de inflexión es un punto de la gráfica donde cambia la concavidad.

El criterio de la primera derivada

Sea c un punto crítico. Comprueba el signo de f' justo a la izquierda y justo a la derecha de c:

Si f' tiene el mismo signo a ambos lados, no hay extremo en c: la gráfica solo se aplana un momento y sigue su camino.

La razón es sencilla. Un máximo local es donde la gráfica deja de subir y empieza a bajar, así que la pendiente tiene que pasar de positiva a negativa.

El criterio de la segunda derivada

Si f'(c) = 0, a menudo puedes saltarte la tabla de signos y evaluar f''(c):

Una tangente horizontal en una curva cóncava hacia abajo tiene que ser la cima de una colina; una tangente horizontal en una taza tiene que ser el fondo. Pero si f''(c) = 0, el criterio no es concluyente. No significa "no hay extremo". Vuelve al criterio de la primera derivada.

Ejemplo resuelto 1: el trazado completo de una cúbica

Traza f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.

Paso 1. Dominio y cortes con los ejes. Un polinomio está definido para todo x real. El corte con el eje y es f(0) = 5.

Paso 2. Primera derivada y puntos críticos.

Así que f'(x) = 0 en x = -1 y x = 3.

Paso 3. Tabla de signos de f'. Prueba un valor en cada intervalo:

Por el criterio de la primera derivada, f tiene un máximo local en x = -1 (de más a menos) y un mínimo local en x = 3 (de menos a más).

Paso 4. Alturas de los puntos de giro.

Paso 5. Segunda derivada y concavidad.

f''(x) < 0 para x < 1 (cóncava hacia abajo) y f''(x) > 0 para x > 1 (cóncava hacia arriba). La concavidad cambia en x = 1, así que hay un punto de inflexión en (1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6).

Paso 6. Confirma con el criterio de la segunda derivada. f''(-1) = -12 < 0, así que x = -1 es un máximo. f''(3) = 12 > 0, así que x = 3 es un mínimo. Ambos coinciden con el paso 3.

Paso 7. Comportamiento en los extremos. Domina el término principal x^3, así que f(x) \to -\infty cuando x \to -\infty y f(x) \to \infty cuando x \to \infty.

Paso 8. Traza. Sube desde abajo a la izquierda, curvándote como un gorro, alcanza la cima en (-1, 10), pasa por (0, 5), baja por el punto de inflexión (1, -6) donde la curvatura cambia a forma de taza, toca fondo en (3, -22) y sube hacia arriba a la derecha.

Fíjate en que el punto de inflexión está justo a mitad de camino entre los dos puntos de giro. Eso se cumple en toda cúbica con dos puntos críticos, y es una comprobación muy útil.

Ejemplo resuelto 2: cuando falla el criterio de la segunda derivada

Analiza f(x) = x^4 - 4x^3.

Paso 1. Puntos críticos.

Puntos críticos: x = 0 y x = 3.

Paso 2. Prueba el criterio de la segunda derivada.

En x = 3: f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0, así que hay un mínimo local en (3, 81 - 108) = (3, -27).

En x = 0: f''(0) = 0. El criterio no es concluyente.

Paso 3. Usa el criterio de la primera derivada en x = 0. El factor 4x^2 nunca es negativo, así que el signo de f' cerca de 0 lo da x - 3, que es negativo a ambos lados de 0. Por tanto, f' es negativa a ambos lados: f decrece al pasar por x = 0 y no hay extremo allí, solo un tramo plano.

Paso 4. Concavidad y puntos de inflexión. f'' = 12x(x - 2) cambia de signo en x = 0 y x = 2:

Los dos son puntos de inflexión: (0, 0) y (2, 16 - 32) = (2, -16). Así que el tramo plano en el origen también es un punto de inflexión, y por eso no es ni máximo ni mínimo.

Ejemplo resuelto 3: una curva exponencial

Analiza f(x) = x e^{-x}.

Paso 1. Primera derivada (regla del producto):

Como e^{-x} > 0, el signo de f' es el signo de 1 - x: creciente para x < 1, decreciente para x > 1. Máximo local en \left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37).

Paso 2. Segunda derivada.

Cóncava hacia abajo para x < 2, cóncava hacia arriba para x > 2. Punto de inflexión en \left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27).

Paso 3. Comprobación con el criterio de la segunda derivada. f''(1) = e^{-1}(-1) < 0, lo que confirma el máximo.

Cuando x \to \infty, e^{-x} se reduce mucho más rápido de lo que crece x, así que la curva se aplana hacia 0 (consulta límites al infinito).

Errores comunes en el trazado de curvas

1. Llamar punto de inflexión a cualquier f''(c) = 0. f(x) = x^4 tiene f''(0) = 0 pero es cóncava hacia arriba en todas partes. Comprueba que el signo cambia.
2. Concluir "no hay extremo" cuando falla el criterio de la segunda derivada. f''(c) = 0 significa "usa otro criterio", no "aquí no pasa nada". En x^4, x = 0 es un mínimo.
3. Confundir qué hace cada derivada. f' da el crecimiento y el decrecimiento; f'' da la concavidad. Una función puede ser creciente y cóncava hacia abajo a la vez.
4. Probar los signos en los propios puntos críticos. Elige valores de prueba estrictamente dentro de cada intervalo.
5. Dar solo los valores de x. Un máximo local es un punto. Da (-1, 10), no solo x = -1, salvo que la pregunta pida solo la ubicación.
6. Olvidar los puntos donde f' no está definida. Para f(x) = x^{2/3}, f'(0) no existe y, sin embargo, x = 0 es un mínimo (una cúspide afilada).

Referencia rápida

Para hallar el valor absoluto más grande o más pequeño de una cantidad real, las mismas herramientas impulsan los problemas de optimización.

Practica a leer gráficas a partir de las derivadas

Trazar curvas es una rutina: puntos críticos, tabla de signos, segunda derivada, tabla de signos, trazado. La rutina solo se vuelve rápida con la repetición. La lección interactiva de abajo te permite practicar la concavidad y la segunda derivada con corrección inmediata, para que adquieras el hábito de comprobar el cambio de signo antes de llamar punto de inflexión a algo.