Kurvendiskussion mit Ableitungen: erste und zweite Ableitung

Ein grafikfähiger Taschenrechner zeichnet eine Kurve in einer Sekunde, warum also von Hand skizzieren? Weil der Taschenrechner dir nicht sagt, warum die Kurve so aussieht, wo genau sie umkehrt oder ob ein Schlenker außerhalb des Bildschirms ein Maximum versteckt. Ableitungen beantworten all das. Mit f' und f'' kannst du die genaue Form eines Graphen vorhersagen, bevor du einen einzigen Punkt einträgst, und Prüfungsfragen dazu gehören zu den berechenbarsten Punkten, die du holen kannst.

Was dir die erste und die zweite Ableitung verraten

Bei der Kurvendiskussion nutzt du Ableitungen, um herauszufinden, wo ein Graph steigt und fällt, wo er umkehrt und wie er sich krümmt. Jede Ableitung beantwortet eine Frage:

• Die erste Ableitung f' ist die Steigung. Wo f'(x) > 0 ist, ist die Funktion streng monoton steigend; wo f'(x) < 0 ist, ist sie streng monoton fallend.
• Die zweite Ableitung f'' ist die Änderungsrate der Steigung. Wo f''(x) > 0 ist, ist der Graph linksgekrümmt (geformt wie eine Schale); wo f''(x) < 0 ist, ist er rechtsgekrümmt (geformt wie eine Kappe).

Ein kritischer Punkt ist ein x im Definitionsbereich, an dem f'(x) = 0 ist oder f'(x) nicht existiert. Nur dort kann eine glatte Funktion umkehren. Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Graphen, an dem sich die Krümmung ändert.

Das Kriterium mit der ersten Ableitung (Vorzeichenwechsel)

Sei c ein kritischer Punkt. Prüfe das Vorzeichen von f' knapp links und knapp rechts von c:

Hat f' auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen, gibt es bei c kein Extremum: Der Graph wird nur kurz flach und läuft dann weiter.

Der Grund ist einfach. Ein lokales Maximum ist die Stelle, an der der Graph aufhört zu steigen und anfängt zu fallen, also muss die Steigung von positiv zu negativ wechseln.

Das Kriterium mit der zweiten Ableitung

Ist f'(c) = 0, kannst du die Vorzeichentabelle oft überspringen und f''(c) berechnen:

Eine waagerechte Tangente an einer rechtsgekrümmten Kurve muss die Spitze eines Hügels sein; eine waagerechte Tangente an einer Schale muss der Boden sein. Ist aber f''(c) = 0, ist das Kriterium nicht aussagekräftig. Das heißt nicht "kein Extremum". Geh zurück zum Kriterium mit der ersten Ableitung.

Rechenbeispiel 1: vollständige Kurvendiskussion einer kubischen Funktion

Skizziere f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.

Schritt 1. Definitionsbereich und Achsenschnittpunkte. Ein Polynom ist für alle reellen x definiert. Der y-Achsenabschnitt ist f(0) = 5.

Schritt 2. Erste Ableitung und kritische Punkte.

Also ist f'(x) = 0 bei x = -1 und x = 3.

Schritt 3. Vorzeichentabelle für f'. Teste einen Wert in jedem Intervall:

Nach dem Kriterium mit der ersten Ableitung hat f ein lokales Maximum bei x = -1 (plus zu minus) und ein lokales Minimum bei x = 3 (minus zu plus).

Schritt 4. Höhen der Extrempunkte.

Schritt 5. Zweite Ableitung und Krümmung.

f''(x) < 0 für x < 1 (rechtsgekrümmt) und f''(x) > 0 für x > 1 (linksgekrümmt). Die Krümmung ändert sich bei x = 1, also gibt es einen Wendepunkt bei (1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6).

Schritt 6. Mit dem Kriterium der zweiten Ableitung bestätigen. f''(-1) = -12 < 0, also ist x = -1 ein Maximum. f''(3) = 12 > 0, also ist x = 3 ein Minimum. Beides stimmt mit Schritt 3 überein.

Schritt 7. Verhalten im Unendlichen. Der höchste Term x^3 dominiert, also gilt f(x) \to -\infty für x \to -\infty und f(x) \to \infty für x \to \infty.

Schritt 8. Skizzieren. Komm von links unten, gekrümmt wie eine Kappe, erreiche die Spitze bei (-1, 10), lauf durch (0, 5), fall durch den Wendepunkt (1, -6), wo die Krümmung zur Schale umschlägt, erreiche den Tiefpunkt bei (3, -22) und steig nach rechts oben.

Beachte, dass der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen den beiden Extrempunkten liegt. Das gilt für jede kubische Funktion mit zwei kritischen Punkten und ist eine praktische Kontrolle.

Rechenbeispiel 2: wenn das Kriterium mit der zweiten Ableitung versagt

Untersuche f(x) = x^4 - 4x^3.

Schritt 1. Kritische Punkte.

Kritische Punkte: x = 0 und x = 3.

Schritt 2. Das Kriterium mit der zweiten Ableitung versuchen.

Bei x = 3: f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0, also gibt es ein lokales Minimum bei (3, 81 - 108) = (3, -27).

Bei x = 0: f''(0) = 0. Das Kriterium ist nicht aussagekräftig.

Schritt 3. Das Kriterium mit der ersten Ableitung bei x = 0 anwenden. Der Faktor 4x^2 ist nie negativ, also kommt das Vorzeichen von f' nahe 0 von x - 3, und das ist auf beiden Seiten von 0 negativ. f' ist also auf beiden Seiten negativ: f fällt durch x = 0 hindurch, und dort gibt es kein Extremum, nur eine flache Stelle.

Schritt 4. Krümmung und Wendepunkte. f'' = 12x(x - 2) wechselt bei x = 0 und x = 2 das Vorzeichen:

Beides sind Wendepunkte: (0, 0) und (2, 16 - 32) = (2, -16). Die flache Stelle im Ursprung ist also auch ein Wendepunkt (ein Sattelpunkt), und deshalb ist sie weder Maximum noch Minimum.

Rechenbeispiel 3: eine Exponentialkurve

Untersuche f(x) = x e^{-x}.

Schritt 1. Erste Ableitung (Produktregel):

Da e^{-x} > 0 ist, entspricht das Vorzeichen von f' dem Vorzeichen von 1 - x: steigend für x < 1, fallend für x > 1. Lokales Maximum bei \left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37).

Schritt 2. Zweite Ableitung.

Rechtsgekrümmt für x < 2, linksgekrümmt für x > 2. Wendepunkt bei \left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27).

Schritt 3. Kontrolle mit dem Kriterium der zweiten Ableitung. f''(1) = e^{-1}(-1) < 0, das bestätigt das Maximum.

Für x \to \infty schrumpft e^{-x} viel schneller, als x wächst, also flacht die Kurve gegen 0 ab (siehe Grenzwerte im Unendlichen).

Typische Fehler bei der Kurvendiskussion

1. Jede Stelle mit f''(c) = 0 für einen Wendepunkt halten. f(x) = x^4 hat f''(0) = 0, ist aber überall linksgekrümmt. Prüfe, ob das Vorzeichen wechselt.
2. "Kein Extremum" folgern, wenn das Kriterium mit der zweiten Ableitung versagt. f''(c) = 0 heißt "nimm ein anderes Kriterium", nicht "hier passiert nichts". Bei x^4 ist x = 0 ein Minimum.
3. Verwechseln, welche Ableitung was zeigt. f' liefert steigend/fallend; f'' liefert die Krümmung. Eine Funktion kann gleichzeitig steigend und rechtsgekrümmt sein.
4. Die Vorzeichen an den kritischen Punkten selbst testen. Wähle Testwerte, die echt im Inneren jedes Intervalls liegen.
5. Nur x-Werte angeben. Ein lokales Maximum ist ein Punkt. Gib (-1, 10) an, nicht nur x = -1, es sei denn, die Frage verlangt nur die Stelle.
6. Stellen vergessen, an denen f' nicht definiert ist. Bei f(x) = x^{2/3} existiert f'(0) nicht, und trotzdem ist x = 0 ein Minimum (eine scharfe Spitze).

Kurzübersicht

Um den absolut größten oder kleinsten Wert einer realen Größe zu finden, treiben dieselben Werkzeuge Extremwertaufgaben an.

Graphen aus Ableitungen lesen üben

Die Kurvendiskussion ist eine Routine: kritische Punkte, Vorzeichentabelle, zweite Ableitung, Vorzeichentabelle, Skizze. Schnell wird die Routine nur durch Wiederholung. In der interaktiven Lektion unten übst du Krümmung und die zweite Ableitung mit sofortiger Rückmeldung, sodass du dir angewöhnst, auf einen Vorzeichenwechsel zu prüfen, bevor du etwas einen Wendepunkt nennst.