Leyes de los límites: suma, producto, cociente y potencia

Las leyes de los límites son las reglas algebraicas de los límites. Dicen que si dos funciones tienden cada una a un límite finito, entonces su suma, diferencia, producto, cociente y potencias tienden a la combinación correspondiente de esos límites. Convierten un límite difícil en varios fáciles.

Las leyes de los límites

Supón que \lim_{x \to a} f(x) = L y \lim_{x \to a} g(x) = M, donde L y M son números reales, y c es una constante.

Una regla relacionada se ocupa de las composiciones: si \lim_{x \to a} g(x) = M y f es continua en M, entonces \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(M). Por eso puedes meter un límite dentro de \sin, e^x, \ln o una raíz cuadrada, siempre que el límite interior caiga donde la función exterior es continua.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un polinomio. Aplica las leyes de la suma, del múltiplo constante y de la potencia término a término:

Ejemplo 2: un cociente. El denominador tiende a 1 + 1 = 2 \ne 0, así que la ley del cociente se aplica:

Ejemplo 3: combinar límites dados. Supón que \lim_{x \to 4} f(x) = 3 y \lim_{x \to 4} g(x) = -2. Entonces

Ejemplo 4: cuando falla la ley del cociente. En \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} el denominador tiende a 0, así que la ley del cociente no dice nada. Simplifica primero y luego aplica las leyes a la nueva expresión:

Se puede simplificar porque el límite nunca usa el valor en x = 3.

Por qué la sustitución directa se deduce de las leyes

Todo polinomio se construye a partir de constantes y de x mediante sumas, productos y potencias. Aplicar las leyes paso a paso siempre termina con el polinomio evaluado en a. Así que para cualquier polinomio p:

Lo mismo vale para una función racional \frac{p(x)}{q(x)} siempre que q(a) \ne 0. Ese atajo se llama sustitución directa, y es lo primero que hay que probar con cualquier límite.

Cuándo no se aplican las leyes de los límites

Las leyes necesitan que cada límite individual exista y sea finito. Presta atención a estas situaciones:

• Un denominador que tiende a 0. Si el numerador también tiende a 0, tienes la indeterminación \frac{0}{0}. Factoriza, racionaliza o usa la regla de L'Hôpital. Si el numerador tiende a un número distinto de cero, el límite es infinito o no existe.
• Un límite infinito. Formas como \infty - \infty, 0 \cdot \infty y \frac{\infty}{\infty} no tienen un valor automático. Consulta la guía de límites al infinito.
• Un límite que no existe. Si \lim f(x) no existe, no puedes separarlo. Por ejemplo, \lim_{x \to 0} \left[\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x}\right] = 0, aunque \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} no existe.

Errores comunes

1. Usar la ley del cociente con \frac{0}{0}. Escribir \frac{0}{0} y detenerse, o decir que la respuesta es 0 o 1, es un error. Indica que hace falta más álgebra.
2. Separar el límite antes de comprobar que existe. La ley de la suma exige que ambos límites existan. Compruébalo primero.
3. Olvidar la condición de la raíz. \lim \sqrt{f(x)} necesita que f(x) tienda a un número positivo (o a 0 por la derecha) para que la raíz cuadrada tenga sentido.
4. Meter un límite dentro de una función discontinua. La regla de la composición exige que la función exterior sea continua en el límite interior.

Para un recorrido completo por la factorización, la racionalización y otras técnicas, lee la guía sobre cómo calcular límites. Si los límites son nuevos para ti, empieza por qué es un límite.