Propriedades dos limites: soma, produto, quociente e potência

As propriedades dos limites são as regras algébricas dos limites. Elas dizem que, se duas funções tendem cada uma a um limite finito, então sua soma, diferença, produto, quociente e potências tendem à combinação correspondente desses limites. Elas transformam um limite difícil em vários limites fáceis.

As propriedades dos limites

Suponha que \lim_{x \to a} f(x) = L e \lim_{x \to a} g(x) = M, em que L e M são números reais, e c é uma constante.

Uma regra relacionada trata das composições: se \lim_{x \to a} g(x) = M e f é contínua em M, então \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(M). É por isso que você pode passar um limite para dentro de \sin, e^x, \ln ou de uma raiz quadrada, desde que o limite interno caia onde a função de fora é contínua.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: um polinômio. Aplique as propriedades da soma, do múltiplo por constante e da potência, um termo de cada vez:

Exemplo 2: um quociente. O denominador tende a 1 + 1 = 2 \ne 0, então a propriedade do quociente se aplica:

Exemplo 3: combinando limites dados. Suponha que \lim_{x \to 4} f(x) = 3 e \lim_{x \to 4} g(x) = -2. Então

Exemplo 4: quando a propriedade do quociente falha. Em \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} o denominador tende a 0, então a propriedade do quociente não diz nada. Simplifique primeiro e depois use as propriedades na nova expressão:

Cancelar é permitido porque o limite nunca usa o valor em x = 3 propriamente dito.

Por que a substituição direta decorre das propriedades

Todo polinômio é construído a partir de constantes e de x usando somas, produtos e potências. Aplicar as propriedades passo a passo sempre termina com o polinômio calculado em a. Então, para qualquer polinômio p:

O mesmo vale para uma função racional \frac{p(x)}{q(x)} sempre que q(a) \ne 0. Esse atalho se chama substituição direta, e é a primeira coisa a tentar em qualquer limite.

Quando as propriedades dos limites não se aplicam

As propriedades exigem que cada limite individual exista e seja finito. Fique atento a estas situações:

• Um denominador que tende a 0. Se o numerador também tende a 0, você tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Fatore, racionalize ou use a regra de L'Hôpital. Se o numerador tende a um número diferente de zero, o limite é infinito ou não existe.
• Um limite infinito. Formas como \infty - \infty, 0 \cdot \infty e \frac{\infty}{\infty} não têm valor automático. Veja o guia de limites no infinito.
• Um limite que não existe. Se \lim f(x) não existe, você não pode separá-lo. Por exemplo, \lim_{x \to 0} \left[\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x}\right] = 0, embora \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} não exista.

Erros comuns

1. Usar a propriedade do quociente em \frac{0}{0}. Escrever \frac{0}{0} e parar, ou dizer que a resposta é 0 ou 1, está errado. Isso indica que é preciso mais álgebra.
2. Separar antes de verificar a existência. A propriedade da soma exige que os dois limites existam. Verifique isso primeiro.
3. Esquecer a condição da raiz. \lim \sqrt{f(x)} exige que f(x) tenda a um número positivo (ou tenda a 0 por valores positivos) para que a raiz quadrada faça sentido.
4. Passar um limite para dentro de uma função descontínua. A regra da composição exige que a função de fora seja contínua no limite interno.

Para uma explicação completa de fatoração, racionalização e outras técnicas, leia o guia sobre como calcular limites. Se limites são novidade para você, comece por o que é um limite.