Les fonctions en analyse

Fonction constante f(x) = c La fonction constante f(x) = c : sa courbe, une droite horizontale, pourquoi sa dérivée est nulle, sa primitive cx + C, ses limites et les erreurs fréquentes. Fonction affine f(x) = mx + b La fonction affine f(x) = mx + b : pente et ordonnée à l'origine, sa droite représentative, pourquoi sa dérivée est la pente m, sa primitive et des exemples. Fonction du second degré f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c : parabole, formule du sommet, racines, dérivée 2ax + b, primitive et exemples corrigés. Fonctions puissances f(x) = x^n Les fonctions puissances f(x) = xⁿ pour n entier, négatif ou fractionnaire : courbes, domaines, la dérivée nxⁿ⁻¹, la primitive et l'exception n = -1. Fonctions polynômes f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 Les fonctions polynômes : degré, terme de plus haut degré, comportement à l'infini, racines et extremums, et comment dériver et intégrer un polynôme. Fonctions rationnelles f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 Les fonctions rationnelles P(x)/Q(x) : domaine, asymptotes verticales et horizontales, trous, dérivée par la règle du quotient et éléments simples. Fonction inverse f(x) = \frac{1}{x} La fonction inverse 1/x : son hyperbole et ses asymptotes, la dérivée -1/x², pourquoi sa primitive est ln|x| + C, et ses limites à gauche et à droite en 0. Fonction racine carrée f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} La fonction racine carrée f(x) = √x : domaine et courbe, la dérivée 1/(2√x), la primitive (2/3)x^(3/2) + C et la tangente verticale en 0. Fonction valeur absolue f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} La fonction valeur absolue |x| : sa courbe en V, pourquoi elle est continue mais non dérivable en 0, sa dérivée x/|x| et son intégrale.

Fonction exponentielle f(x) = e^x La fonction exponentielle e^x : ce qu'est le nombre e, sa courbe, pourquoi elle est sa propre dérivée et primitive, limites, série et exemples. Fonctions exponentielles f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 Les fonctions exponentielles f(x) = b^x : courbes de croissance et de décroissance, propriétés, dérivée b^x ln b, primitive b^x / ln b + C et exemples. Logarithme népérien f(x) = \ln x Le logarithme népérien ln x : sa courbe, ses propriétés algébriques, pourquoi sa dérivée vaut 1/x, sa primitive x ln x - x + C et des exemples corrigés. Fonctions logarithmes f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 Les fonctions logarithmes log_b x : définition, courbes, règles de calcul, changement de base, dérivée 1/(x ln b), primitive et exemples corrigés.

Fonction sinus f(x) = \sin x La fonction sinus sin(x) : courbe, domaine, période, valeurs remarquables, dérivée cos(x), primitive et erreurs fréquentes à éviter. Fonction cosinus f(x) = \cos x La fonction cosinus cos(x) : sa courbe, son domaine, son image, sa période, ses valeurs remarquables, sa dérivée −sin(x), sa primitive sin(x) + C. Fonction tangente f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} La fonction tangente tan(x) = sin(x)/cos(x) : sa courbe, ses asymptotes verticales, sa période π, sa dérivée, sa primitive ln|sec x| + C et des exemples. Sécante, cosécante et cotangente \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} Les fonctions trigonométriques sec x, csc x et cot x : définitions, courbes, asymptotes, leurs trois dérivées et primitives, avec des exemples corrigés.

Arc sinus f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x La fonction arc sinus arcsin(x), réciproque du sinus : domaine [−1, 1], image [−π/2, π/2], courbe, dérivée 1/√(1−x²), primitive et exemples. Arc cosinus f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x La fonction arc cosinus arccos(x), réciproque du cosinus : domaine [−1, 1], image [0, π], courbe, dérivée −1/√(1−x²), primitive et exemples. Arc tangente f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x La fonction arc tangente arctan(x), réciproque de la tangente : définie sur ℝ, image (−π/2, π/2), courbe, dérivée 1/(1+x²), primitive et exemples.

Fonctions hyperboliques \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} Les fonctions hyperboliques sh x, ch x et th x : définitions à partir de l'exponentielle, courbes, identités, dérivées, primitives et exemples corrigés.

Fonctions définies par morceaux f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} Les fonctions définies par morceaux : les lire et les tracer, calculer les limites à gauche et à droite, étudier continuité et dérivabilité, et les intégrer. Partie entière et partie entière supérieure \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} La partie entière ⌊x⌋ et la partie entière supérieure ⌈x⌉ : définitions, courbes en escalier, limites à gauche et à droite, continuité, dérivée et intégrale.