Les théorèmes de l'analyse
Les théorèmes qui fondent l'analyse, énoncés avec précision, expliqués simplement et illustrés par des graphiques et des exemples.
Théorèmes sur les limites et la continuité
Les théorèmes qui rendent les limites et les fonctions continues prévisibles.
Théorème des gendarmes
g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L
Le théorème des gendarmes (d'encadrement) : si g ≤ f ≤ h près de a et si g et h ont la même limite L, alors f tend aussi vers L. Énoncé, graphique, exemples.
Théorème des valeurs intermédiaires
f(c) = N \text{ pour un } c \in (a, b)
Le théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur [a, b] prend toute valeur entre f(a) et f(b). Énoncé, graphique, contre-exemples.
Théorème des bornes atteintes
f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ pour tout } x \in [a, b]
Le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment [a, b] admet un maximum et un minimum. Énoncé, graphique, contre-exemples et exemples.
Théorèmes du calcul différentiel
Théorèmes sur les dérivées, les extremums et les taux de variation.
Théorème de Rolle
f'(c) = 0 \text{ pour un } c \in (a, b)
Le théorème de Rolle : si f est continue sur [a, b], dérivable sur (a, b) et f(a) = f(b), alors f'(c) = 0 pour un certain c. Graphique et exemples.
Théorème des accroissements finis
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Le théorème des accroissements finis : une fonction dérivable sur [a, b] admet un point où la pente de la tangente égale la pente moyenne. Énoncé et exemples.
Théorème de Fermat
f'(c) = 0
Le théorème de Fermat : si f admet un extremum local en c et si f'(c) existe, alors f'(c) = 0. Énoncé, graphique, réciproque fausse et exemples corrigés.
Théorèmes du calcul intégral
Le théorème fondamental de l'analyse et les théorèmes qui en découlent.
Théorème fondamental de l'analyse, partie 1
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)
Théorème fondamental, partie 1 : si f est continue, la dérivée de l'intégrale de a à x de f(t) dt est f(x). Énoncé, graphique, composition et exemples corrigés.
Théorème fondamental de l'analyse, partie 2
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
Théorème fondamental, partie 2 : l'intégrale de f de a à b vaut F(b) − F(a) pour toute primitive F. Énoncé, graphique, contre-exemple clé et exemples corrigés.
Théorème de la moyenne
f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx
Le théorème de la moyenne : une fonction continue sur [a, b] atteint sa valeur moyenne en un point c. Énoncé, graphique, contre-exemple et exemples.
Théorèmes sur les séries et plusieurs variables
La formule de Taylor, les résultats de convergence et les grands théorèmes de l'analyse vectorielle.
Formule de Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
La formule de Taylor avec reste de Lagrange : à quel point un polynôme de Taylor approche f(x). Énoncé, majoration de l'erreur, exemples avec e et sin x.
Théorème de Schwarz (Clairaut)
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Théorème de Schwarz (ou de Clairaut) : si f_xy et f_yx sont continues, elles sont égales. Énoncé, contre-exemple classique, graphique et exemples corrigés.
Formule de Green-Riemann
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
La formule de Green-Riemann transforme une intégrale curviligne sur une courbe fermée en intégrale double. Énoncé, hypothèses, aire et exemples.
Théorème de flux-divergence (Green-Ostrogradski)
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
Le théorème de flux-divergence : le flux sortant d'un champ à travers une surface fermée égale l'intégrale triple de sa divergence. Énoncé et exemples.
Théorème de Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
Le théorème de Stokes : la circulation d'un champ le long d'une courbe fermée est égale au flux de son rotationnel à travers une surface qu'elle borde.
Apprendre en pratiquant
Tu connais la règle ? Maintenant, utilise-la.
Chaque fiche renvoie à une leçon interactive où tu résous de vrais problèmes, avec correction immédiate et solutions pas à pas.
Commencer à apprendre gratuitement