Les règles de l'analyse

Opérations sur les limites \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) Les opérations sur les limites permettent de découper une limite en limites plus simples. Chaque règle avec ses conditions, des exemples et les pièges. Substitution directe \lim_{x \to a} f(x) = f(a) La substitution directe calcule une limite en remplaçant x par sa valeur. Quand elle fonctionne, comment lire le résultat et que faire face à 0/0 ou a/0. Règle de L'Hôpital \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} La règle de L'Hôpital lève les formes indéterminées 0/0 et ∞/∞ en dérivant numérateur et dénominateur. Conditions exactes, exemples et autres formes.

Dérivée d'une constante \frac{d}{dx}\, c = 0 La dérivée d'une constante est nulle. La formule, une démonstration en une ligne, des exemples avec π et e, et les erreurs à éviter. Règle de la puissance \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} La règle de la puissance : la dérivée de x^n est n·x^(n−1). Formule, exemples avec exposants négatifs et fractionnaires, démonstration et erreurs fréquentes. Produit par une constante \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) La dérivée de c·f(x) est c·f'(x). La formule du produit par une constante, des exemples corrigés, une démonstration rapide et les erreurs fréquentes. Dérivée d'une somme et d'une différence \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) La dérivée d'une somme ou d'une différence se calcule terme à terme. La formule, des exemples corrigés, une démonstration et les pièges à éviter. Règle du produit \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) La dérivée d'un produit f·g est f'g + fg'. La formule, des exemples corrigés, la version à trois facteurs, une démonstration courte et les erreurs fréquentes. Règle du quotient \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} La dérivée d'un quotient : (f/g)' = (f'g − fg')/g². La formule, un moyen mnémotechnique, des exemples corrigés, quand l'éviter et les erreurs fréquentes. Règle de dérivation en chaîne \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) La dérivée de f(g(x)) est f'(g(x))·g'(x). La règle de dérivation en chaîne dans les deux notations, un tableau des formes usuelles, des exemples et les erreurs. Dérivation implicite \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} La dérivation implicite donne dy/dx sans isoler y. La règle clé, une méthode en quatre étapes, des exemples avec tangentes et les erreurs fréquentes. Dérivation logarithmique \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] La dérivation logarithmique : prendre ln des deux membres, dériver, multiplier par y. Méthode et exemples pour x^x, les exposants variables et les produits. Dérivée de la fonction réciproque (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} La dérivée de la réciproque f⁻¹ en x vaut 1/f'(f⁻¹(x)). La formule, pourquoi les pentes sont inverses, des exemples corrigés, arcsin et ln.

Primitive d'une puissance \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 La primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1) + C pour n ≠ −1. Formule, exemples avec racines et puissances négatives, et l'exception ln|x|. Linéarité de l'intégrale \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx La linéarité de l'intégrale : on intègre une somme terme à terme et on sort les constantes. Formules, exemples et erreurs à éviter avec produits et quotients. Changement de variable \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) Le changement de variable inverse la dérivation en chaîne : ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Formule, choix de u, bornes des intégrales définies et exemples. Intégration par parties \int u\,dv = uv - \int v\,du La formule d'intégration par parties ∫u dv = uv − ∫v du, le choix de u avec LIATE, le cas des intégrales définies et des exemples : ln x, x·eˣ, x·cos x. Propriétés de l'intégrale \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx Les propriétés de l'intégrale définie : inversion des bornes, relation de Chasles, parité des fonctions et positivité, avec des exemples corrigés.

Somme d'une série géométrique \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 La somme d'une série géométrique : a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) si |r| < 1. Sommes partielles, condition de convergence et exemples corrigés. Critère du terme général \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} Le critère du terme général : si le terme général d'une série ne tend pas vers 0, la série diverge. Énoncé, limites du critère et exemples corrigés. Critère de d'Alembert L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert Le critère de d'Alembert : on calcule L = lim |a(n+1)/a(n)|. Si L < 1 la série converge absolument, si L > 1 elle diverge, et si L = 1 on ne conclut pas. Critère des séries alternées b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge} Le critère des séries alternées (critère de Leibniz) : si bₙ décroît vers 0, la série des (−1)ⁿbₙ converge. Conditions, majoration du reste et exemples.