Formulaire d'analyse

Opérations sur les limites \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) Substitution directe \lim_{x \to a} f(x) = f(a) Règle de L'Hôpital \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Dérivée d'une constante \frac{d}{dx}\, c = 0 Règle de la puissance \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} Produit par une constante \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) Dérivée d'une somme et d'une différence \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) Règle du produit \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) Règle du quotient \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} Règle de dérivation en chaîne \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) Dérivation implicite \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} Dérivation logarithmique \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] Dérivée de la fonction réciproque (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)}

Primitive d'une puissance \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 Linéarité de l'intégrale \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx Changement de variable \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) Intégration par parties \int u\,dv = uv - \int v\,du Propriétés de l'intégrale \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx

Somme d'une série géométrique \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 Critère du terme général \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ diverge} Critère de d'Alembert L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert Critère des séries alternées b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ converge}

Théorème des gendarmes g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L Théorème des valeurs intermédiaires f(c) = N \text{ pour un } c \in (a, b) Théorème des bornes atteintes f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ pour tout } x \in [a, b]

Théorème de Rolle f'(c) = 0 \text{ pour un } c \in (a, b) Théorème des accroissements finis f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} Théorème de Fermat f'(c) = 0

Théorème fondamental de l'analyse, partie 1 \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) Théorème fondamental de l'analyse, partie 2 \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) Théorème de la moyenne f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx

Formule de Taylor f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} Théorème de Schwarz (Clairaut) f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) Formule de Green-Riemann \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA Théorème de flux-divergence (Green-Ostrogradski) \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV Théorème de Stokes \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}