Derivadas de exponenciais e logaritmos: e^x, a^x e ln x

A regra da potência resolve x^2, mas é inútil para 2^x, em que a variável está no expoente. Exponenciais e logaritmos modelam crescimento, decaimento, juros e meias-vidas, então você vai precisar das suas derivadas o tempo todo. São apenas quatro fórmulas para aprender, e todas vêm de um fato notável sobre o número e.

As quatro fórmulas

Uma função exponencial tem a variável no expoente, como e^x ou 3^x. Um logaritmo é a sua inversa, como \ln x ou \log_2 x. As derivadas são:

Aqui a > 0, a \neq 1, e \ln indica o logaritmo natural (na base e). Repare que as duas fórmulas na base e são o caso particular a = e das fórmulas gerais, porque \ln e = 1.

Por que e^x é a sua própria derivada

Tente derivar uma exponencial qualquer a^x pela definição por limite:

A derivada de a^x é a^x vezes uma constante. Essa constante é simplesmente a inclinação de a^x em x = 0. Para a = 2, ela vale cerca de 0.693. Para a = 3, cerca de 1.099. Em algum lugar entre 2 e 3 existe uma base em que a inclinação em 0 é exatamente 1, e essa base é e \approx 2.71828.

Então e é definido pela propriedade que deixa o cálculo limpo: a inclinação de e^x em cada ponto é igual à sua altura. E a constante misteriosa para as outras bases acaba sendo \ln a, o que dá \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a.

Por que a derivada de ln x é 1/x

Seja y = \ln x. Isso significa que e^y = x. Derive os dois lados em relação a x, usando a regra da cadeia à esquerda (isso é derivação implícita):

Uma consequência elegante: \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} para todo x \neq 0, e é por isso que \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Para outras bases, reescreva com a fórmula de mudança de base \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}. Como \frac{1}{\ln a} é só uma constante, a derivada é \frac{1}{x \ln a}.

Exemplo resolvido 1: e com uma função de dentro

Derive y = e^{x^2}.

Passo 1. De fora: e^u, cuja derivada é ela mesma, e^{x^2}.

Passo 2. De dentro: u = x^2, com derivada 2x.

Passo 3. Multiplique, pela regra da cadeia:

O expoente continua exatamente como estava. Só o fator 2x vai para a frente.

Exemplo resolvido 2: uma exponencial com outra base

Derive y = 5^{3x}.

Passo 1. A derivada de 5^u é 5^u \ln 5, então a parte de fora fica 5^{3x}\ln 5.

Passo 2. A função de dentro 3x tem derivada 3.

Não use a regra da potência aqui. 3x \cdot 5^{3x-1} está errado, porque a base é constante e o expoente é variável, que é justamente o contrário da situação da regra da potência.

Exemplo resolvido 3: logaritmos de produtos e de composições

Derive y = \ln(3x) e y = \log_2(x^2 + 4).

Primeira função. Pela regra da cadeia, y' = \frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x}. Isso parece surpreendente até você usar uma propriedade do logaritmo: \ln(3x) = \ln 3 + \ln x, e \ln 3 é constante. A constante some, sobrando \frac{1}{x}.

Segunda função. A função de fora é \log_2 u, com derivada \frac{1}{u \ln 2}. A de dentro, x^2 + 4, tem derivada 2x:

Dica: antes de derivar um logaritmo, expanda-o com as propriedades. \ln\big(x^3\sqrt{x+1}\big) = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x+1), cuja derivada \frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)} não precisa de regra do produto nenhuma.

O que essas derivadas significam: crescimento proporcional ao tamanho

A regra \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx} diz algo físico: a taxa de variação é proporcional à quantidade atual. É exatamente assim que se comportam populações, juros compostos e decaimento radioativo.

Suponha que uma cultura de bactérias tenha P(t) = 500e^{0.04t} células depois de t horas. Então

A cada instante, a cultura cresce 4% do seu tamanho atual por hora. Em t = 0, isso dá 20 células por hora. Quando a cultura dobra para 1000 células (em t = \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3 horas), ela está crescendo 40 células por hora. Populações maiores crescem mais rápido, e e^{kx} é a função que captura isso perfeitamente.

Os logaritmos funcionam ao contrário. Como \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} diminui à medida que x cresce, \ln x continua aumentando para sempre, mas cada vez mais devagar. É por isso que escalas logarítmicas (decibéis, escala Richter, pH) comprimem intervalos enormes de valores em números pequenos e fáceis de ler.

Derivação logarítmica

Algumas funções são impossíveis de derivar com as regras básicas, como x^x, em que a variável está tanto na base quanto no expoente. Outras são possíveis, mas trabalhosas, como um produto longo de potências. A derivação logarítmica resolve os dois casos:

1. Escreva y = f(x) e aplique \ln nos dois lados.
2. Use as propriedades do logaritmo para transformar produtos, quocientes e potências em somas.
3. Derive os dois lados. O lado esquerdo vira \frac{y'}{y}.
4. Multiplique os dois lados por y e depois substitua de volta a função original f(x).

Exemplo resolvido 4: a derivada de x^x

Seja y = x^x para x > 0.

Passo 1. \ln y = \ln(x^x) = x\ln x.

Passo 2. Derive. O lado direito precisa da regra do produto:

Passo 3. Multiplique por y = x^x:

Verificação em x = 1: y' = 1 \cdot (0 + 1) = 1. O mesmo método dá \frac{d}{dx}x^{\sin x} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).

Exemplo resolvido 5: um produto e um quociente complicados

Derive y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}} para x > 1.

Passo 1. Aplique o logaritmo e expanda.

Passo 2. Derive cada termo.

Passo 3. Multiplique por y.

Fazer isso com a regra do quociente, mais a regra do produto, mais duas regras da cadeia, ocuparia uma página inteira. Os logaritmos transformaram tudo em três termos fáceis.

Erros comuns

1. Usar a regra da potência em a^x. \frac{d}{dx}2^x \neq x\,2^{x-1}. A regra da potência serve apenas para base variável e expoente constante.
2. Esquecer o \ln a. \frac{d}{dx}3^x = 3^x \ln 3, e não 3^x. Só a base e dispensa esse fator.
3. Mudar o expoente. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x e^{x^2}, e não e^{2x} nem x^2 e^{x^2 - 1}.
4. Escrever \frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}. A forma correta é \frac{g'(x)}{g(x)}: a função de dentro vai embaixo, e a sua derivada em cima.
5. Esquecer de multiplicar por y no fim da derivação logarítmica, deixando a resposta como \frac{y'}{y}.

Referência rápida

Crie o hábito com prática

As fórmulas são curtas, mas as armadilhas (regra da potência em 2^x, um \ln a esquecido, um expoente alterado) são fáceis de cair sob a pressão da prova. A lição interativa abaixo treina exatamente esses pontos, com feedback imediato em cada resposta, para que o padrão correto fique automático antes do dia da prova.