Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas: e^x, a^x y ln x

La regla de la potencia resuelve x^2, pero no sirve para 2^x, donde la variable está en el exponente. Las exponenciales y los logaritmos modelan el crecimiento, el decaimiento, el interés y las vidas medias, así que necesitas sus derivadas constantemente. Solo hay cuatro fórmulas que aprender, y todas salen de un hecho notable sobre el número e.

Las cuatro fórmulas

Una función exponencial tiene la variable en el exponente, como e^x o 3^x. Un logaritmo es su inversa, como \ln x o \log_2 x. Sus derivadas son:

Aquí a > 0, a \neq 1, y \ln es el logaritmo natural (en base e). Fíjate en que las dos fórmulas en base e son el caso particular a = e de las generales, porque \ln e = 1.

Por qué e^x es su propia derivada

Intenta derivar cualquier exponencial a^x con la definición por límite:

La derivada de a^x es a^x por una constante. Esa constante es simplemente la pendiente de a^x en x = 0. Para a = 2 vale aproximadamente 0.693. Para a = 3, aproximadamente 1.099. En algún punto entre 2 y 3 hay una base cuya pendiente en 0 es exactamente 1, y esa base es e \approx 2.71828.

Así que e se define por la propiedad que hace limpio el cálculo: la pendiente de e^x en cada punto es igual a su altura. Y la constante misteriosa para las demás bases resulta ser \ln a, lo que da \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a.

Por qué la derivada de ln x es 1/x

Sea y = \ln x. Eso significa que e^y = x. Deriva ambos lados con respecto a x, usando la regla de la cadena en el lado izquierdo (esto es derivación implícita):

Una consecuencia elegante: \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} para todo x \neq 0, y por eso \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Para otras bases, reescribe con la fórmula del cambio de base \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}. Como \frac{1}{\ln a} es solo una constante, la derivada es \frac{1}{x \ln a}.

Ejemplo resuelto 1: e con una función interna

Deriva y = e^{x^2}.

Paso 1. Externa: e^u, cuya derivada es ella misma, e^{x^2}.

Paso 2. Interna: u = x^2, con derivada 2x.

Paso 3. Multiplica, por la regla de la cadena:

El exponente se queda exactamente como estaba. Solo el factor 2x sale delante.

Ejemplo resuelto 2: una exponencial con otra base

Deriva y = 5^{3x}.

Paso 1. La derivada de 5^u es 5^u \ln 5, así que la parte externa es 5^{3x}\ln 5.

Paso 2. La función interna 3x tiene derivada 3.

No uses aquí la regla de la potencia. 3x \cdot 5^{3x-1} es incorrecto, porque la base es constante y el exponente es variable, justo lo contrario de la situación de la regla de la potencia.

Ejemplo resuelto 3: logaritmos de productos y composiciones

Deriva y = \ln(3x) y y = \log_2(x^2 + 4).

Primera función. Por la regla de la cadena, y' = \frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x}. Parece sorprendente hasta que usas una propiedad de los logaritmos: \ln(3x) = \ln 3 + \ln x, y \ln 3 es una constante. La constante desaparece y queda \frac{1}{x}.

Segunda función. La externa es \log_2 u, con derivada \frac{1}{u \ln 2}. La interna x^2 + 4 tiene derivada 2x:

Consejo: antes de derivar un logaritmo, desarróllalo con las propiedades de los logaritmos. \ln\big(x^3\sqrt{x+1}\big) = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x+1), cuya derivada \frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)} no necesita ninguna regla del producto.

Qué significan estas derivadas: crecimiento proporcional al tamaño

La regla \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx} dice algo físico: la tasa de cambio es proporcional a la cantidad actual. Así es exactamente como se comportan las poblaciones, el interés compuesto y la desintegración radiactiva.

Supón que un cultivo de bacterias tiene P(t) = 500e^{0.04t} células después de t horas. Entonces

En cada instante el cultivo crece un 4 % de su tamaño actual por hora. En t = 0 eso son 20 células por hora. Cuando el cultivo se ha duplicado hasta 1000 células (en t = \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3 horas), crece a 40 células por hora. Las poblaciones más grandes crecen más rápido, y e^{kx} es la función que lo refleja a la perfección.

Los logaritmos funcionan al revés. Como \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} se reduce a medida que x crece, \ln x sigue aumentando para siempre, pero cada vez más despacio. Por eso las escalas logarítmicas (los decibelios, la escala de Richter, el pH) comprimen rangos enormes de valores en números pequeños y fáciles de leer.

Derivación logarítmica

Algunas funciones son imposibles con las reglas básicas, como x^x, donde la variable está tanto en la base como en el exponente. Otras son posibles pero penosas, como un producto largo de potencias. La derivación logarítmica resuelve ambos casos:

1. Escribe y = f(x) y toma \ln en ambos lados.
2. Usa las propiedades de los logaritmos para convertir productos, cocientes y potencias en sumas.
3. Deriva ambos lados. El lado izquierdo se convierte en \frac{y'}{y}.
4. Multiplica ambos lados por y y vuelve a sustituir la f(x) original.

Ejemplo resuelto 4: la derivada de x^x

Sea y = x^x para x > 0.

Paso 1. \ln y = \ln(x^x) = x\ln x.

Paso 2. Deriva. El lado derecho necesita la regla del producto:

Paso 3. Multiplica por y = x^x:

Comprobación en x = 1: y' = 1 \cdot (0 + 1) = 1. El mismo método da \frac{d}{dx}x^{\sin x} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).

Ejemplo resuelto 5: un producto y un cociente complicados

Deriva y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}} para x > 1.

Paso 1. Toma logaritmos y desarrolla.

Paso 2. Deriva cada término.

Paso 3. Multiplica por y.

Hacer esto con la regla del cociente, más la regla del producto, más dos reglas de la cadena llevaría una página entera. Los logaritmos lo convirtieron en tres términos fáciles.

Errores comunes

1. Usar la regla de la potencia con a^x. \frac{d}{dx}2^x \neq x\,2^{x-1}. La regla de la potencia es solo para una base variable y un exponente constante.
2. Olvidar el \ln a. \frac{d}{dx}3^x = 3^x \ln 3, no 3^x. Solo la base e se salta este factor.
3. Cambiar el exponente. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x e^{x^2}, no e^{2x} ni x^2 e^{x^2 - 1}.
4. Escribir \frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}. La forma correcta es \frac{g'(x)}{g(x)}: la función interna va abajo y su derivada arriba.
5. Olvidar multiplicar por y al final de la derivación logarítmica, dejando la respuesta como \frac{y'}{y}.

Referencia rápida

Crea el hábito con la práctica

Las fórmulas son cortas, pero las trampas (la regla de la potencia con 2^x, un \ln a que falta, un exponente cambiado) son fáciles de pisar bajo la presión de un examen. La lección interactiva de abajo entrena justo estos casos, con corrección inmediata en cada respuesta, para que el patrón correcto te salga solo antes del día del examen.