Gradiente e derivada direcional: fórmula e exemplos

Você está numa encosta descrita por z = f(x, y). As derivadas parciais dizem o quanto o terreno é íngreme se você andar exatamente para o leste ou para o norte. Mas e se você andar para o nordeste? E para que lado deve andar para subir o mais rápido possível? O gradiente responde às duas perguntas com um único vetor.

Este guia explica o gradiente, a fórmula da derivada direcional, por que o gradiente aponta morro acima, e resolve quatro exemplos completos.

O que é o gradiente?

O gradiente de uma função é o vetor das suas derivadas parciais de primeira ordem. Para duas e três variáveis:

O símbolo \nabla se lê "nabla" ou "grad". O gradiente é uma função vetorial: em cada ponto, ele dá um vetor que vive no plano de entrada (o plano xy), e não sobre a superfície.

Por exemplo, se f(x, y) = x^2 + 3xy, então f_x = 2x + 3y e f_y = 3x, logo

A fórmula da derivada direcional

A derivada direcional de f num ponto, na direção de um vetor unitário \mathbf{u}, é a taxa de variação de f por unidade de distância percorrida nessa direção:

Se \mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle, isso é D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2.

As derivadas parciais são casos particulares. Com \mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle você obtém D_{\mathbf{u}} f = f_x, e com \mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle obtém f_y.

Como calcular uma derivada direcional:

1. Encontre o gradiente \nabla f e calcule-o no ponto.
2. Transforme a direção em um vetor unitário: divida pelo comprimento, ou use \mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle para um ângulo \theta.
3. Faça o produto escalar dos dois.

Dica: o passo 2 é o que as pessoas pulam. Se o problema diz "na direção de \langle 3, 4 \rangle", você precisa usar \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle.

Exemplo resolvido 1: uma direção dada por um vetor

Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x^2 + 3xy em (1, 2) na direção de \mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle.

Passo 1. Gradiente no ponto. Pelo que vimos acima, \nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle.

Passo 2. Vetor unitário. |\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5, então \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle.

Passo 3. Produto escalar.

Saindo de (1, 2) em direção a \langle 3, 4 \rangle, f cresce cerca de 7.2 unidades por unidade de distância.

Exemplo resolvido 2: uma direção dada por um ângulo

Encontre a derivada direcional de f(x, y) = x e^y em (2, 0) na direção que forma um ângulo \theta = \frac{\pi}{3} com o semieixo positivo x.

Passo 1. Gradiente. f_x = e^y e f_y = x e^y, então \nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle.

Passo 2. Vetor unitário a partir do ângulo.

Ele já tem comprimento 1, então não é preciso dividir.

Passo 3. Produto escalar.

Por que o gradiente aponta na direção de maior crescimento

Use a forma geométrica do produto escalar. Se \theta é o ângulo entre \nabla f e o vetor unitário \mathbf{u}, então

Como \cos\theta varia de -1 a 1, três fatos aparecem:

• Maior crescimento: o maior valor, |\nabla f|, acontece em \theta = 0, quando \mathbf{u} aponta ao longo de \nabla f.
• Maior decrescimento: o menor valor, -|\nabla f|, acontece em \theta = \pi, quando \mathbf{u} aponta ao longo de -\nabla f.
• Nenhuma variação: D_{\mathbf{u}} f = 0 quando \theta = \frac{\pi}{2}, ou seja, nas direções perpendiculares a \nabla f. Essas são as direções ao longo da curva de nível.

Esse último fato significa que o gradiente é sempre perpendicular às curvas de nível de f. Num mapa topográfico, o gradiente aponta direto morro acima, cruzando as curvas de nível em ângulo reto.

Exemplo resolvido 3: a subida mais íngreme num morro

A altura de um morro é f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2. Uma pessoa está em (3, 1).

Passo 1. Gradiente. \nabla f = \langle -2x, -4y \rangle, então \nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle.

Passo 2. Direção de maior crescimento. É \langle -6, -4 \rangle ou, como vetor unitário,

Ela aponta morro acima, aproximadamente de volta para o topo, na origem. (Não exatamente para ele: o morro é mais íngreme na direção y, então o gradiente se volta para o eixo x de forma mais acentuada do que uma linha reta até o topo.)

Passo 3. Taxa máxima. |\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21.

Passo 4. Maior decrescimento. A direção oposta, \langle 6, 4 \rangle, com taxa -2\sqrt{13}.

Passo 5. Direções de nível. As direções perpendiculares a \langle -3, -2 \rangle são \langle 2, -3 \rangle e \langle -2, 3 \rangle (confira: -6 + 6 = 0). Andar em qualquer uma delas mantém a pessoa na mesma altura, pelo menos instantaneamente.

O ponto (3, 1) está na curva de nível x^2 + 2y^2 = 11 (onde a altura é 89). O gráfico mostra essa curva, a direção do gradiente e a direção tangente. Elas se encontram em ângulo reto.

Exemplo resolvido 4: três variáveis

Encontre a derivada direcional de f(x, y, z) = xyz em P(1, 2, 3) na direção do ponto Q(2, 4, 5).

Passo 1. Gradiente. \nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle, então \nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle.

Passo 2. Vetor direção. \overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle, com comprimento \sqrt{1 + 4 + 4} = 3. Então \mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle.

Passo 3. Produto escalar.

A taxa máxima possível em P é |\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7, então essa direção dá \frac{16}{3} \approx 5.33 de um máximo possível de 7.

Em três variáveis, o gradiente é perpendicular à superfície de nível f(x, y, z) = c, e é por isso que \nabla f é usado como vetor normal dos planos tangentes.

Erros comuns com gradientes e derivadas direcionais

1. Não normalizar a direção. Usar \langle 3, 4 \rangle em vez de \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle deixa a resposta 5 vezes maior do que deveria.
2. Usar o ponto em vez da direção. No exemplo 4, a direção é Q - P, e não o próprio Q.
3. Esquecer de calcular o gradiente no ponto. A resposta de uma questão de derivada direcional é um número, não uma fórmula.
4. Achar que o gradiente vive sobre a superfície. Para z = f(x, y), \nabla f é um vetor 2D no plano xy que diz para que lado andar.
5. Confundir a taxa máxima com a sua direção. A direção é \nabla f (ou seu vetor unitário). A taxa é o número |\nabla f|.

Referência rápida: fatos sobre o gradiente

Pratique até parecer leitura de mapa

Depois que você consegue calcular um gradiente de cabeça e se lembra de normalizar a direção, esses problemas viram pontos rápidos na prova. Eles também são a ideia central por trás dos multiplicadores de Lagrange. A lição interativa abaixo traz superfícies, pontos e direções para você trabalhar e confere cada passo na hora, para você perceber um vetor unitário esquecido logo na primeira vez.