Gradiente y derivada direccional: fórmula y ejemplos

Estás de pie en la ladera de una colina descrita por z = f(x, y). Las derivadas parciales te dicen qué tan empinado es el terreno si caminas hacia el este o hacia el norte. Pero ¿y si caminas hacia el noreste? ¿Y hacia dónde deberías caminar para subir lo más rápido posible? El gradiente responde ambas preguntas con un solo vector.

Esta guía explica el gradiente, la fórmula de la derivada direccional, por qué el gradiente apunta cuesta arriba, y resuelve cuatro ejemplos completos.

¿Qué es el gradiente?

El gradiente de una función es el vector de sus primeras derivadas parciales. Para dos y tres variables:

El símbolo \nabla se lee "nabla" o "gradiente". El gradiente es una función vectorial: en cada punto te da un vector que vive en el plano de entrada (el plano xy), no sobre la superficie.

Por ejemplo, si f(x, y) = x^2 + 3xy, entonces f_x = 2x + 3y y f_y = 3x, así que

La fórmula de la derivada direccional

La derivada direccional de f en un punto en la dirección de un vector unitario \mathbf{u} es la tasa de cambio de f por unidad de distancia recorrida en esa dirección:

Si \mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle, eso es D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2.

Las derivadas parciales son casos particulares. Con \mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle obtienes D_{\mathbf{u}} f = f_x, y con \mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle obtienes f_y.

Cómo calcular una derivada direccional:

1. Halla el gradiente \nabla f y evalúalo en el punto.
2. Convierte la dirección en un vector unitario: divide entre su longitud, o usa \mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle para un ángulo \theta.
3. Calcula el producto escalar de los dos.

Consejo: el paso 2 es el que la gente se salta. Si el problema dice "en la dirección de \langle 3, 4 \rangle", tienes que usar \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle.

Ejemplo resuelto 1: una dirección dada por un vector

Halla la derivada direccional de f(x, y) = x^2 + 3xy en (1, 2) en la dirección de \mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle.

Paso 1. Gradiente en el punto. Por lo anterior, \nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle.

Paso 2. Vector unitario. |\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5, así que \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle.

Paso 3. Producto escalar.

Al moverte desde (1, 2) hacia \langle 3, 4 \rangle, f aumenta a razón de unas 7.2 unidades por unidad de distancia.

Ejemplo resuelto 2: una dirección dada por un ángulo

Halla la derivada direccional de f(x, y) = x e^y en (2, 0) en la dirección que forma un ángulo \theta = \frac{\pi}{3} con el semieje x positivo.

Paso 1. Gradiente. f_x = e^y y f_y = x e^y, así que \nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle.

Paso 2. Vector unitario a partir del ángulo.

Ya tiene longitud 1, así que no hace falta dividir.

Paso 3. Producto escalar.

Por qué el gradiente apunta en la dirección de máximo ascenso

Usa la forma geométrica del producto escalar. Si \theta es el ángulo entre \nabla f y el vector unitario \mathbf{u}, entonces

Como \cos\theta va de -1 a 1, salen tres hechos:

• Máximo ascenso: el valor más grande, |\nabla f|, se da en \theta = 0, cuando \mathbf{u} apunta a lo largo de \nabla f.
• Máximo descenso: el valor más pequeño, -|\nabla f|, se da en \theta = \pi, cuando \mathbf{u} apunta a lo largo de -\nabla f.
• Sin cambio: D_{\mathbf{u}} f = 0 cuando \theta = \frac{\pi}{2}, es decir, en las direcciones perpendiculares a \nabla f. Son las direcciones a lo largo de la curva de nivel.

Este último hecho significa que el gradiente siempre es perpendicular a las curvas de nivel de f. En un mapa topográfico, el gradiente apunta directamente cuesta arriba y cruza las curvas de nivel en ángulo recto.

Ejemplo resuelto 3: máximo ascenso en una colina

La altura de una colina es f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2. Un excursionista está en (3, 1).

Paso 1. Gradiente. \nabla f = \langle -2x, -4y \rangle, así que \nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle.

Paso 2. Dirección de máximo ascenso. Es \langle -6, -4 \rangle, o como vector unitario,

Apunta cuesta arriba, más o menos de vuelta hacia la cima en el origen. (No exactamente hacia ella: la colina es más empinada en la dirección y, así que el gradiente se dirige hacia el eje x de forma más brusca que una línea recta hasta la cima.)

Paso 3. Tasa máxima. |\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21.

Paso 4. Máximo descenso. La dirección opuesta, \langle 6, 4 \rangle, con tasa -2\sqrt{13}.

Paso 5. Direcciones de nivel. Perpendiculares a \langle -3, -2 \rangle son \langle 2, -3 \rangle y \langle -2, 3 \rangle (comprobación: -6 + 6 = 0). Caminar en cualquiera de las dos mantiene al excursionista a la misma altura, al menos instantáneamente.

El punto (3, 1) está en la curva de nivel x^2 + 2y^2 = 11 (donde la altura es 89). La gráfica muestra esa curva, la dirección del gradiente y la dirección tangente. Se cortan en ángulo recto.

Ejemplo resuelto 4: tres variables

Halla la derivada direccional de f(x, y, z) = xyz en P(1, 2, 3) en la dirección del punto Q(2, 4, 5).

Paso 1. Gradiente. \nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle, así que \nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle.

Paso 2. Vector de dirección. \overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle, con longitud \sqrt{1 + 4 + 4} = 3. Así que \mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle.

Paso 3. Producto escalar.

La tasa máxima posible en P es |\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7, así que esta dirección te da \frac{16}{3} \approx 5.33 de un máximo posible de 7.

En tres variables el gradiente es perpendicular a la superficie de nivel f(x, y, z) = c, y por eso \nabla f se usa como vector normal de los planos tangentes.

Errores comunes con el gradiente y las derivadas direccionales

1. No normalizar la dirección. Usar \langle 3, 4 \rangle en lugar de \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle hace que la respuesta sea 5 veces mayor.
2. Usar el punto en lugar de la dirección. En el ejemplo 4, la dirección es Q - P, no el propio Q.
3. Olvidar evaluar el gradiente en el punto. La respuesta a una pregunta de derivada direccional es un número, no una fórmula.
4. Creer que el gradiente vive sobre la superficie. Para z = f(x, y), \nabla f es un vector 2D en el plano xy que te dice hacia dónde caminar.
5. Confundir la tasa máxima con su dirección. La dirección es \nabla f (o su vector unitario). La tasa es el número |\nabla f|.

Referencia rápida: datos clave del gradiente

Practica hasta que sea como leer un mapa

Cuando puedas calcular un gradiente de cabeza y te acuerdes de normalizar la dirección, estos problemas se convierten en puntos rápidos en un examen. También son la idea clave detrás de los multiplicadores de Lagrange. La lección interactiva de abajo te da superficies, puntos y direcciones con los que trabajar, y corrige cada paso al instante para que detectes un vector unitario que falta desde la primera vez.