Gradient und Richtungsableitung: Formel und Beispiele

Du stehst an einem Hang, der durch z = f(x, y) beschrieben wird. Partielle Ableitungen sagen dir, wie steil der Boden ist, wenn du genau nach Osten oder genau nach Norden gehst. Aber was, wenn du nach Nordosten gehst? Und in welche Richtung solltest du gehen, um so schnell wie möglich aufzusteigen? Der Gradient beantwortet beide Fragen mit einem einzigen Vektor.

Dieser Leitfaden erklärt den Gradienten, die Formel für die Richtungsableitung, warum der Gradient bergauf zeigt, und rechnet vier vollständige Beispiele durch.

Was ist der Gradient?

Der Gradient einer Funktion ist der Vektor ihrer ersten partiellen Ableitungen. Für zwei und drei Variablen:

Das Symbol \nabla liest man "Nabla" oder "grad". Der Gradient ist eine vektorwertige Funktion: An jedem Punkt liefert er einen Vektor, der in der Ebene der Eingaben liegt (der xy-Ebene), nicht auf der Fläche.

Ist zum Beispiel f(x, y) = x^2 + 3xy, dann gilt f_x = 2x + 3y und f_y = 3x, also

Die Formel für die Richtungsableitung

Die Richtungsableitung von f in einem Punkt in Richtung eines Einheitsvektors \mathbf{u} ist die Änderungsrate von f pro Längeneinheit, die man sich in diese Richtung bewegt:

Ist \mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle, so ist das D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2.

Partielle Ableitungen sind Spezialfälle. Mit \mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle erhältst du D_{\mathbf{u}} f = f_x, und mit \mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle erhältst du f_y.

So berechnest du eine Richtungsableitung:

1. Bestimme den Gradienten \nabla f und werte ihn im Punkt aus.
2. Mach aus der Richtung einen Einheitsvektor: Teile durch seine Länge, oder verwende bei einem Winkel \theta den Vektor \mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle.
3. Bilde das Skalarprodukt der beiden.

Tipp: Schritt 2 wird gern übersprungen. Heißt es in der Aufgabe "in Richtung \langle 3, 4 \rangle", musst du \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle verwenden.

Rechenbeispiel 1: eine durch einen Vektor gegebene Richtung

Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y) = x^2 + 3xy im Punkt (1, 2) in Richtung \mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle.

Schritt 1. Gradient im Punkt. Von oben: \nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle.

Schritt 2. Einheitsvektor. |\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5, also \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle.

Schritt 3. Skalarprodukt.

Bewegst du dich von (1, 2) in Richtung \langle 3, 4 \rangle, wächst f um etwa 7.2 Einheiten pro Längeneinheit.

Rechenbeispiel 2: eine durch einen Winkel gegebene Richtung

Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y) = x e^y im Punkt (2, 0) in der Richtung, die mit der positiven x-Achse den Winkel \theta = \frac{\pi}{3} bildet.

Schritt 1. Gradient. f_x = e^y und f_y = x e^y, also \nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle.

Schritt 2. Einheitsvektor aus dem Winkel.

Der Vektor hat bereits die Länge 1, du musst also nicht teilen.

Schritt 3. Skalarprodukt.

Warum der Gradient in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt

Verwende die geometrische Form des Skalarprodukts. Ist \theta der Winkel zwischen \nabla f und dem Einheitsvektor \mathbf{u}, dann gilt

Da \cos\theta zwischen -1 und 1 liegt, ergeben sich drei Tatsachen:

• Steilster Anstieg: Der größte Wert, |\nabla f|, tritt bei \theta = 0 auf, wenn \mathbf{u} entlang \nabla f zeigt.
• Steilster Abstieg: Der kleinste Wert, -|\nabla f|, tritt bei \theta = \pi auf, wenn \mathbf{u} entlang -\nabla f zeigt.
• Keine Änderung: D_{\mathbf{u}} f = 0 gilt bei \theta = \frac{\pi}{2}, also in Richtungen senkrecht zu \nabla f. Das sind die Richtungen entlang der Höhenlinie.

Die letzte Tatsache bedeutet: Der Gradient steht immer senkrecht auf den Höhenlinien von f. Auf einer topografischen Karte zeigt der Gradient direkt bergauf und kreuzt die Höhenlinien im rechten Winkel.

Rechenbeispiel 3: steilster Anstieg an einem Hügel

Die Höhe eines Hügels ist f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2. Eine Wanderin steht im Punkt (3, 1).

Schritt 1. Gradient. \nabla f = \langle -2x, -4y \rangle, also \nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle.

Schritt 2. Richtung des steilsten Anstiegs. Sie ist \langle -6, -4 \rangle, oder als Einheitsvektor

Er zeigt bergauf, ungefähr zurück zum Gipfel im Ursprung. (Nicht genau darauf: Der Hügel ist in y-Richtung steiler, also steuert der Gradient stärker auf die x-Achse zu, als es eine gerade Linie zum Gipfel täte.)

Schritt 3. Größte Rate. |\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21.

Schritt 4. Steilster Abstieg. Die Gegenrichtung \langle 6, 4 \rangle, mit der Rate -2\sqrt{13}.

Schritt 5. Richtungen gleicher Höhe. Senkrecht zu \langle -3, -2 \rangle sind \langle 2, -3 \rangle und \langle -2, 3 \rangle (Probe: -6 + 6 = 0). Geht die Wanderin in eine dieser Richtungen, bleibt sie auf derselben Höhe, zumindest im ersten Moment.

Der Punkt (3, 1) liegt auf der Höhenlinie x^2 + 2y^2 = 11 (wo die Höhe 89 ist). Der Graph zeigt diese Kurve, die Gradientenrichtung und die Tangentenrichtung. Sie treffen sich im rechten Winkel.

Rechenbeispiel 4: drei Variablen

Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y, z) = xyz im Punkt P(1, 2, 3) in Richtung des Punktes Q(2, 4, 5).

Schritt 1. Gradient. \nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle, also \nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle.

Schritt 2. Richtungsvektor. \overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle, mit der Länge \sqrt{1 + 4 + 4} = 3. Also ist \mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle.

Schritt 3. Skalarprodukt.

Die größtmögliche Rate in P ist |\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7, diese Richtung bringt dir also \frac{16}{3} \approx 5.33 von möglichen 7.

Bei drei Variablen steht der Gradient senkrecht auf der Niveaufläche f(x, y, z) = c, und deshalb wird \nabla f als Normalenvektor für Tangentialebenen verwendet.

Typische Fehler bei Gradienten und Richtungsableitungen

1. Die Richtung nicht normieren. Mit \langle 3, 4 \rangle statt \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle wird die Antwort 5-mal zu groß.
2. Den Punkt statt der Richtung verwenden. In Beispiel 4 ist die Richtung Q - P, nicht Q selbst.
3. Vergessen, den Gradienten im Punkt auszuwerten. Die Antwort auf eine Frage nach einer Richtungsableitung ist eine Zahl, keine Formel.
4. Glauben, der Gradient liege auf der Fläche. Bei z = f(x, y) ist \nabla f ein zweidimensionaler Vektor in der xy-Ebene, der dir sagt, in welche Richtung du gehen sollst.
5. Größte Rate und ihre Richtung verwechseln. Die Richtung ist \nabla f (oder sein Einheitsvektor). Die Rate ist die Zahl |\nabla f|.

Kurzübersicht: Fakten zum Gradienten

Üben, bis es sich wie Kartenlesen anfühlt

Sobald du einen Gradienten im Kopf berechnen kannst und daran denkst, die Richtung zu normieren, werden diese Aufgaben zu schnellen Punkten in der Prüfung. Sie sind außerdem die zentrale Idee hinter Lagrange-Multiplikatoren. Die interaktive Lektion unten gibt dir Flächen, Punkte und Richtungen zum Bearbeiten und prüft jeden Schritt sofort, sodass dir ein fehlender Einheitsvektor schon beim ersten Mal auffällt.