Vetores, produto escalar e produto vetorial: guia com exemplos

O Cálculo 3 começa trocando números por setas. Forças, velocidades e gradientes têm tamanho e direção, e você precisa de um jeito de medir ângulos, testar ângulos retos e calcular áreas sem desenhar nada. O produto escalar e o produto vetorial são essas duas ferramentas.

Este guia trata de componentes e comprimento de vetores, do produto escalar e dos ângulos, das projeções e do produto vetorial e da área, cada um com um exemplo totalmente resolvido.

O que é um vetor?

Um vetor é uma grandeza com módulo (comprimento) e direção. Em componentes, um vetor em 3D é escrito como

onde \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} são os vetores unitários ao longo dos eixos x, y e z. O vetor do ponto P(x_1, y_1, z_1) ao ponto Q(x_2, y_2, z_2) é "fim menos início":

Você soma vetores e os multiplica por números uma componente de cada vez: \langle 1, 2, 3\rangle + \langle 4, 0, -1 \rangle = \langle 5, 2, 2 \rangle e 3\langle 1, -2, 0\rangle = \langle 3, -6, 0 \rangle.

Módulo e vetores unitários

O módulo de \mathbf{a} vem do teorema de Pitágoras:

Um vetor unitário tem comprimento 1. Para obter o vetor unitário na direção de \mathbf{a}, divida pelo seu comprimento: \mathbf{u} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.

Exemplo resolvido 1: comprimento e vetor unitário

Encontre |\mathbf{a}| e o vetor unitário na direção de \mathbf{a} = \langle 3, -2, 6 \rangle.

Passo 1. Eleve as componentes ao quadrado e some. 3^2 + (-2)^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49.

Passo 2. Tire a raiz quadrada. |\mathbf{a}| = \sqrt{49} = 7.

Passo 3. Divida pelo comprimento.

Conferindo: \frac{9 + 4 + 36}{49} = 1, então \mathbf{u} tem mesmo comprimento 1.

O produto escalar: definição e significado

O produto escalar multiplica as componentes correspondentes e soma os resultados:

A resposta é um número, não um vetor. O fato-chave é que ele também tem uma fórmula geométrica, em que \theta é o ângulo entre os vetores:

Então o produto escalar mede o quanto dois vetores apontam no mesmo sentido:

• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0: o ângulo é agudo (menor que 90°).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0: os vetores são perpendiculares (ortogonais).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0: o ângulo é obtuso (maior que 90°).

Repare também que \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2, um atalho útil para comprimentos.

Como encontrar o ângulo entre dois vetores

Isole \cos\theta na fórmula geométrica:

Exemplo resolvido 2: o ângulo entre dois vetores

Encontre o ângulo entre \mathbf{a} = \langle 1, 1, 0 \rangle e \mathbf{b} = \langle 1, 0, 1 \rangle.

Passo 1. Produto escalar. \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1.

Passo 2. Comprimentos. |\mathbf{a}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} e |\mathbf{b}| = \sqrt{2}.

Passo 3. Cosseno do ângulo.

Passo 4. Arco cosseno. \theta = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, ou 60^\circ.

Exemplo resolvido 3: testando se vetores são perpendiculares

\mathbf{a} = \langle 2, 1, -1 \rangle e \mathbf{b} = \langle 1, -1, 1 \rangle são perpendiculares?

O produto escalar é 0 e nenhum dos vetores é nulo, então sim, eles são perpendiculares. Não é preciso calcular nenhum ângulo.

Projeções: a sombra de um vetor sobre outro

O produto escalar também diz quanto de \mathbf{a} aponta ao longo de \mathbf{b}. A projeção escalar (componente) e a projeção vetorial são

Para \mathbf{a} = \langle 4, 2 \rangle e \mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + 8 = 20 e |\mathbf{b}| = 5. A componente é \frac{20}{5} = 4, e a projeção é \frac{20}{25}\langle 3, 4 \rangle = \left\langle \frac{12}{5}, \frac{16}{5} \right\rangle, que tem comprimento 4, como esperado. Na física, o trabalho realizado por uma força constante \mathbf{F} ao longo de um deslocamento \mathbf{d} é exatamente W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}.

O produto vetorial: definição e regra da mão direita

O produto vetorial de dois vetores em 3D é um vetor. O jeito mais fácil de calculá-lo é com um determinante 3 por 3:

O que ele significa geometricamente:

• Direção: \mathbf{a} \times \mathbf{b} é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}. Aponte os dedos da mão direita ao longo de \mathbf{a}, curve-os em direção a \mathbf{b}, e o polegar aponta ao longo de \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
• Comprimento: |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta, que é a área do paralelogramo de lados \mathbf{a} e \mathbf{b}.
• A ordem importa: \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
• Vetores paralelos têm produto vetorial \mathbf{0}, já que \sin 0 = 0.

Exemplo resolvido 4: calculando um produto vetorial

Encontre \mathbf{a} \times \mathbf{b} para \mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle e \mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle.

Passo 1. Primeira componente (cubra a coluna do \mathbf{i}): a_2 b_3 - a_3 b_2 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3.

Passo 2. Segunda componente (cubra a coluna do \mathbf{j}): a_3 b_1 - a_1 b_3 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6.

Passo 3. Terceira componente (cubra a coluna do \mathbf{k}): a_1 b_2 - a_2 b_1 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3.

Passo 4. Confira com produtos escalares. \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 1, 2, 3 \rangle = -3 + 12 - 9 = 0 e \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 4, 5, 6 \rangle = -12 + 30 - 18 = 0. O resultado é perpendicular aos dois, como deve ser.

O paralelogramo determinado por \mathbf{a} e \mathbf{b} tem área |\langle -3, 6, -3 \rangle| = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Dica: faça sempre as duas conferências com produto escalar. Um erro de sinal na componente do meio é o deslize clássico, e a conferência o pega em segundos.

Exemplo resolvido 5: área de um triângulo no espaço

Encontre a área do triângulo de vértices P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0) e R(0, 0, 3).

Passo 1. Dois vetores-lado a partir de P.

Passo 2. Produto vetorial.

Passo 3. Comprimento. \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7. Essa é a área do paralelogramo.

Passo 4. Divida por dois. A área do triângulo é \frac{7}{2}.

De bônus, \langle 6, 3, 2 \rangle é perpendicular ao plano que passa por P, Q e R, então esse plano é 6x + 3y + 2z = 6. (Conferindo: os três pontos satisfazem a equação.)

Produto escalar versus produto vetorial: resumo rápido

Erros comuns com vetores

1. Tratar o produto escalar como vetor. \langle 1, 2 \rangle \cdot \langle 3, 4 \rangle = 11, um único número.
2. Esquecer de dividir pelos dois comprimentos ao calcular um ângulo. Dividir só por |\mathbf{a}| dá um cosseno que pode passar de 1.
3. Inverter a componente do meio do produto vetorial. Ela é a_3 b_1 - a_1 b_3, que é o oposto do menor 2 por 2. Confira com produtos escalares.
4. Trocar a ordem de um produto vetorial e perder um sinal.
5. Esquecer de dividir por dois na área de um triângulo.
6. Subtrair os pontos na ordem errada. \overrightarrow{PQ} é Q - P, fim menos início.

Ganhe fluência com repetições rápidas

Produtos escalar e vetorial são pura aritmética, então velocidade e precisão só vêm com repetição. Tudo o que vem depois no Cálculo 3, das derivadas parciais ao gradiente, se apoia neles. A lição interativa abaixo traz vetores novos, confere cada componente na hora e mostra exatamente onde um sinal escorregou.