Vecteurs, produit scalaire et produit vectoriel : guide et exemples

L'analyse à plusieurs variables commence par passer des nombres aux flèches. Les forces, les vitesses et les gradients ont tous une taille et une direction, et il faut un moyen de mesurer des angles, de tester l'orthogonalité et de trouver des aires sans rien dessiner. Le produit scalaire et le produit vectoriel sont ces deux outils.

Ce guide présente les composantes et la norme d'un vecteur, le produit scalaire et les angles, les projections, puis le produit vectoriel et les aires, chacun avec un exemple entièrement corrigé.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur est une grandeur qui a à la fois une norme (longueur) et une direction. En composantes, un vecteur de l'espace s'écrit

où \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} sont les vecteurs unitaires des axes x, y et z. Le vecteur allant du point P(x_1, y_1, z_1) au point Q(x_2, y_2, z_2) s'obtient par « arrivée moins départ » :

On additionne les vecteurs et on les multiplie par des nombres composante par composante : \langle 1, 2, 3\rangle + \langle 4, 0, -1 \rangle = \langle 5, 2, 2 \rangle et 3\langle 1, -2, 0\rangle = \langle 3, -6, 0 \rangle.

Norme et vecteurs unitaires

La norme de \mathbf{a} vient du théorème de Pythagore :

Un vecteur unitaire a une norme égale à 1. Pour obtenir le vecteur unitaire de même direction et de même sens que \mathbf{a}, on divise par sa norme : \mathbf{u} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.

Exemple corrigé 1 : norme et vecteur unitaire

Trouvez |\mathbf{a}| et le vecteur unitaire de même direction que \mathbf{a} = \langle 3, -2, 6 \rangle.

Étape 1. Élever les composantes au carré et les additionner. 3^2 + (-2)^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49.

Étape 2. Prendre la racine carrée. |\mathbf{a}| = \sqrt{49} = 7.

Étape 3. Diviser par la norme.

Vérification : \frac{9 + 4 + 36}{49} = 1, donc \mathbf{u} a bien une norme égale à 1.

Le produit scalaire : définition et signification

Le produit scalaire multiplie les composantes correspondantes et additionne les résultats :

Le résultat est un nombre, pas un vecteur. Le point clé est qu'il a aussi une formule géométrique, où \theta est l'angle entre les vecteurs :

Le produit scalaire mesure donc à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction :

• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0 : l'angle est aigu (moins de 90°).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0 : l'angle est obtus (plus de 90°).

Remarquez aussi que \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2, un raccourci pratique pour les normes.

Trouver l'angle entre deux vecteurs

On isole \cos\theta dans la formule géométrique :

Exemple corrigé 2 : l'angle entre deux vecteurs

Trouvez l'angle entre \mathbf{a} = \langle 1, 1, 0 \rangle et \mathbf{b} = \langle 1, 0, 1 \rangle.

Étape 1. Produit scalaire. \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1.

Étape 2. Normes. |\mathbf{a}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} et |\mathbf{b}| = \sqrt{2}.

Étape 3. Cosinus de l'angle.

Étape 4. Arc cosinus. \theta = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, soit 60^\circ.

Exemple corrigé 3 : tester l'orthogonalité

Les vecteurs \mathbf{a} = \langle 2, 1, -1 \rangle et \mathbf{b} = \langle 1, -1, 1 \rangle sont-ils orthogonaux ?

Le produit scalaire est nul et aucun des deux vecteurs n'est nul, donc oui, ils sont orthogonaux. Aucun calcul d'angle nécessaire.

Projections : l'ombre d'un vecteur sur un autre

Le produit scalaire indique aussi quelle part de \mathbf{a} pointe le long de \mathbf{b}. La projection scalaire (composante) et la projection vectorielle sont

Pour \mathbf{a} = \langle 4, 2 \rangle et \mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle : \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + 8 = 20 et |\mathbf{b}| = 5. La composante vaut \frac{20}{5} = 4, et la projection vaut \frac{20}{25}\langle 3, 4 \rangle = \left\langle \frac{12}{5}, \frac{16}{5} \right\rangle, de norme 4 comme prévu. En physique, le travail d'une force constante \mathbf{F} pour un déplacement \mathbf{d} vaut exactement W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}.

Le produit vectoriel : définition et règle de la main droite

Le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace est un vecteur. Le plus simple pour le calculer est un déterminant 3 par 3 :

Sa signification géométrique :

• Direction : \mathbf{a} \times \mathbf{b} est orthogonal à \mathbf{a} et à \mathbf{b}. Pointez les doigts de la main droite le long de \mathbf{a}, repliez-les vers \mathbf{b}, et votre pouce indique le sens de \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
• Norme : |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta, qui est l'aire du parallélogramme de côtés \mathbf{a} et \mathbf{b}.
• L'ordre compte : \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
• Des vecteurs colinéaires ont un produit vectoriel égal à \mathbf{0}, car \sin 0 = 0.

Exemple corrigé 4 : calculer un produit vectoriel

Trouvez \mathbf{a} \times \mathbf{b} pour \mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle et \mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle.

Étape 1. Première composante (on cache la colonne de \mathbf{i}) : a_2 b_3 - a_3 b_2 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3.

Étape 2. Deuxième composante (on cache la colonne de \mathbf{j}) : a_3 b_1 - a_1 b_3 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6.

Étape 3. Troisième composante (on cache la colonne de \mathbf{k}) : a_1 b_2 - a_2 b_1 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3.

Étape 4. Vérifier avec des produits scalaires. \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 1, 2, 3 \rangle = -3 + 12 - 9 = 0 et \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 4, 5, 6 \rangle = -12 + 30 - 18 = 0. Le résultat est orthogonal aux deux vecteurs, comme il se doit.

Le parallélogramme engendré par \mathbf{a} et \mathbf{b} a pour aire |\langle -3, 6, -3 \rangle| = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Astuce : faites toujours les deux vérifications par produit scalaire. Une erreur de signe sur la composante du milieu est le piège classique, et la vérification la repère en quelques secondes.

Exemple corrigé 5 : aire d'un triangle dans l'espace

Trouvez l'aire du triangle de sommets P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0) et R(0, 0, 3).

Étape 1. Deux vecteurs côtés à partir de P.

Étape 2. Produit vectoriel.

Étape 3. Norme. \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7. C'est l'aire du parallélogramme.

Étape 4. Diviser par deux. L'aire du triangle vaut \frac{7}{2}.

En prime, \langle 6, 3, 2 \rangle est normal au plan passant par P, Q et R, donc ce plan a pour équation 6x + 3y + 2z = 6. (Vérification : les trois points la vérifient.)

Produit scalaire ou produit vectoriel : mémo

Erreurs fréquentes avec les vecteurs

1. Traiter le produit scalaire comme un vecteur. \langle 1, 2 \rangle \cdot \langle 3, 4 \rangle = 11, un seul nombre.
2. Oublier de diviser par les deux normes pour trouver un angle. Diviser seulement par |\mathbf{a}| donne un cosinus qui peut dépasser 1.
3. Inverser la composante du milieu du produit vectoriel. Elle vaut a_3 b_1 - a_1 b_3, c'est-à-dire l'opposé du mineur 2 par 2. Vérifiez avec des produits scalaires.
4. Échanger l'ordre d'un produit vectoriel et perdre un signe.
5. Oublier de diviser par deux pour l'aire d'un triangle.
6. Soustraire les points dans le mauvais ordre. \overrightarrow{PQ} vaut Q - P, arrivée moins départ.

Gagnez en aisance par des séries rapides

Les produits scalaire et vectoriel relèvent du pur calcul, donc la vitesse et la précision ne viennent que par la répétition. Toute la suite de l'analyse à plusieurs variables, des dérivées partielles au gradient, s'appuie sur eux. La leçon interactive ci-dessous vous propose sans cesse de nouveaux vecteurs, vérifie chaque composante instantanément et vous montre exactement où un signe a glissé.