Vectores, producto escalar y producto vectorial: guía con ejemplos

El cálculo multivariable empieza pasando de números a flechas. Las fuerzas, las velocidades y los gradientes tienen todos un tamaño y una dirección, y necesitas una forma de medir ángulos, comprobar ángulos rectos y hallar áreas sin dibujar nada. El producto escalar y el producto vectorial son esas dos herramientas.

Esta guía cubre las componentes y el módulo de un vector, el producto escalar y los ángulos, las proyecciones, y el producto vectorial y el área, cada uno con un ejemplo resuelto completo.

¿Qué es un vector?

Un vector es una cantidad con módulo (longitud) y dirección. Por componentes, un vector en 3D se escribe

donde \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} son los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z. El vector que va del punto P(x_1, y_1, z_1) al punto Q(x_2, y_2, z_2) es "final menos inicio":

Los vectores se suman y se multiplican por números componente a componente: \langle 1, 2, 3\rangle + \langle 4, 0, -1 \rangle = \langle 5, 2, 2 \rangle y 3\langle 1, -2, 0\rangle = \langle 3, -6, 0 \rangle.

Módulo y vectores unitarios

El módulo de \mathbf{a} sale del teorema de Pitágoras:

Un vector unitario tiene módulo 1. Para obtener el vector unitario en la dirección de \mathbf{a}, divide entre su módulo: \mathbf{u} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.

Ejemplo resuelto 1: módulo y vector unitario

Encuentra |\mathbf{a}| y el vector unitario en la dirección de \mathbf{a} = \langle 3, -2, 6 \rangle.

Paso 1. Eleva al cuadrado y suma las componentes. 3^2 + (-2)^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49.

Paso 2. Saca la raíz cuadrada. |\mathbf{a}| = \sqrt{49} = 7.

Paso 3. Divide entre el módulo.

Comprobación: \frac{9 + 4 + 36}{49} = 1, así que \mathbf{u} realmente tiene módulo 1.

El producto escalar: definición y significado

El producto escalar multiplica las componentes correspondientes y suma los resultados:

El resultado es un número, no un vector. El dato clave es que también tiene una fórmula geométrica, donde \theta es el ángulo entre los vectores:

Así que el producto escalar mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección:

• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0: el ángulo es agudo (menor que 90°).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0: los vectores son perpendiculares (ortogonales).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0: el ángulo es obtuso (mayor que 90°).

Observa también que \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2, un atajo útil para calcular módulos.

Cómo hallar el ángulo entre dos vectores

Despeja \cos\theta de la fórmula geométrica:

Ejemplo resuelto 2: el ángulo entre dos vectores

Encuentra el ángulo entre \mathbf{a} = \langle 1, 1, 0 \rangle y \mathbf{b} = \langle 1, 0, 1 \rangle.

Paso 1. Producto escalar. \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1.

Paso 2. Módulos. |\mathbf{a}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} y |\mathbf{b}| = \sqrt{2}.

Paso 3. Coseno del ángulo.

Paso 4. Arcocoseno. \theta = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, o sea 60^\circ.

Ejemplo resuelto 3: comprobar si dos vectores son perpendiculares

¿Son perpendiculares \mathbf{a} = \langle 2, 1, -1 \rangle y \mathbf{b} = \langle 1, -1, 1 \rangle?

El producto escalar es 0 y ninguno de los vectores es nulo, así que sí, son perpendiculares. No hace falta calcular ningún ángulo.

Proyecciones: la sombra de un vector sobre otro

El producto escalar también te dice cuánto de \mathbf{a} apunta en la dirección de \mathbf{b}. La proyección escalar (componente) y la proyección vectorial son

Para \mathbf{a} = \langle 4, 2 \rangle y \mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + 8 = 20 y |\mathbf{b}| = 5. La componente es \frac{20}{5} = 4, y la proyección es \frac{20}{25}\langle 3, 4 \rangle = \left\langle \frac{12}{5}, \frac{16}{5} \right\rangle, que tiene módulo 4, como era de esperar. En física, el trabajo realizado por una fuerza constante \mathbf{F} a lo largo de un desplazamiento \mathbf{d} es exactamente W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}.

El producto vectorial: definición y regla de la mano derecha

El producto vectorial de dos vectores en 3D es un vector. La forma más fácil de calcularlo es con un determinante de 3 por 3:

Qué significa geométricamente:

• Dirección: \mathbf{a} \times \mathbf{b} es perpendicular a \mathbf{a} y a \mathbf{b}. Apunta los dedos de la mano derecha en la dirección de \mathbf{a}, dóblalos hacia \mathbf{b}, y tu pulgar apuntará en la dirección de \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
• Módulo: |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta, que es el área del paralelogramo de lados \mathbf{a} y \mathbf{b}.
• El orden importa: \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
• Los vectores paralelos tienen producto vectorial \mathbf{0}, porque \sin 0 = 0.

Ejemplo resuelto 4: calcular un producto vectorial

Encuentra \mathbf{a} \times \mathbf{b} para \mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle y \mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle.

Paso 1. Primera componente (tapa la columna de \mathbf{i}): a_2 b_3 - a_3 b_2 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3.

Paso 2. Segunda componente (tapa la columna de \mathbf{j}): a_3 b_1 - a_1 b_3 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6.

Paso 3. Tercera componente (tapa la columna de \mathbf{k}): a_1 b_2 - a_2 b_1 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3.

Paso 4. Comprueba con productos escalares. \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 1, 2, 3 \rangle = -3 + 12 - 9 = 0 y \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 4, 5, 6 \rangle = -12 + 30 - 18 = 0. El resultado es perpendicular a ambos, como debe ser.

El paralelogramo formado por \mathbf{a} y \mathbf{b} tiene área |\langle -3, 6, -3 \rangle| = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Consejo: haz siempre las dos comprobaciones con el producto escalar. Un error de signo en la componente del medio es el desliz clásico, y la comprobación lo detecta en segundos.

Ejemplo resuelto 5: el área de un triángulo en el espacio

Encuentra el área del triángulo con vértices P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0) y R(0, 0, 3).

Paso 1. Dos vectores de lado desde P.

Paso 2. Producto vectorial.

Paso 3. Módulo. \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7. Esa es el área del paralelogramo.

Paso 4. Divide entre dos. El área del triángulo es \frac{7}{2}.

Como extra, \langle 6, 3, 2 \rangle es perpendicular al plano que pasa por P, Q y R, así que ese plano es 6x + 3y + 2z = 6. (Comprobación: los tres puntos lo cumplen.)

Producto escalar frente a producto vectorial: referencia rápida

Errores comunes con los vectores

1. Tratar el producto escalar como un vector. \langle 1, 2 \rangle \cdot \langle 3, 4 \rangle = 11, un solo número.
2. Olvidar dividir entre los dos módulos al buscar un ángulo. Dividir solo entre |\mathbf{a}| da un coseno que puede ser mayor que 1.
3. Invertir la componente del medio del producto vectorial. Es a_3 b_1 - a_1 b_3, que es el opuesto del menor de 2 por 2. Compruébalo con productos escalares.
4. Cambiar el orden de un producto vectorial y perder un signo.
5. Olvidar dividir entre dos para el área de un triángulo.
6. Restar los puntos en el orden equivocado. \overrightarrow{PQ} es Q - P, final menos inicio.

Gana soltura con repeticiones rápidas

Los productos escalar y vectorial son aritmética pura, así que la velocidad y la precisión solo llegan con la repetición. Todo lo que viene después en el cálculo multivariable, desde las derivadas parciales hasta el gradiente, se apoya en ellos. La lección interactiva de abajo te propone vectores nuevos, revisa cada componente al instante y te muestra exactamente dónde se escapó un signo.