Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt: verständlich mit Beispielen

Die mehrdimensionale Analysis beginnt mit dem Schritt von Zahlen zu Pfeilen. Kräfte, Geschwindigkeiten und Gradienten haben alle eine Größe und eine Richtung, und du brauchst eine Möglichkeit, Winkel zu messen, rechte Winkel zu prüfen und Flächen zu bestimmen, ohne etwas zu zeichnen. Skalarprodukt und Kreuzprodukt sind genau diese beiden Werkzeuge.

Dieser Artikel behandelt Vektorkomponenten und Länge, das Skalarprodukt und Winkel, Projektionen sowie das Kreuzprodukt und Flächeninhalte, jeweils mit einem vollständig durchgerechneten Beispiel.

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist eine Größe mit einem Betrag (Länge) und einer Richtung. In Komponenten schreibt man einen Vektor im Raum als

wobei \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} die Einheitsvektoren entlang der x-, y- und z-Achse sind. Der Vektor vom Punkt P(x_1, y_1, z_1) zum Punkt Q(x_2, y_2, z_2) ist "Ende minus Anfang":

Vektoren addierst du und multiplizierst sie mit Zahlen komponentenweise: \langle 1, 2, 3\rangle + \langle 4, 0, -1 \rangle = \langle 5, 2, 2 \rangle und 3\langle 1, -2, 0\rangle = \langle 3, -6, 0 \rangle.

Betrag und Einheitsvektoren

Der Betrag von \mathbf{a} folgt aus dem Satz des Pythagoras:

Ein Einheitsvektor hat die Länge 1. Um den Einheitsvektor in Richtung von \mathbf{a} zu erhalten, teilst du durch seine Länge: \mathbf{u} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.

Rechenbeispiel 1: Länge und Einheitsvektor

Bestimme |\mathbf{a}| und den Einheitsvektor in Richtung von \mathbf{a} = \langle 3, -2, 6 \rangle.

Schritt 1. Komponenten quadrieren und addieren. 3^2 + (-2)^2 + 6^2 = 9 + 4 + 36 = 49.

Schritt 2. Wurzel ziehen. |\mathbf{a}| = \sqrt{49} = 7.

Schritt 3. Durch die Länge teilen.

Kontrolle: \frac{9 + 4 + 36}{49} = 1, \mathbf{u} hat also wirklich die Länge 1.

Das Skalarprodukt: Definition und Bedeutung

Das Skalarprodukt multipliziert zusammengehörige Komponenten und addiert die Ergebnisse:

Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor. Entscheidend ist, dass es auch eine geometrische Formel gibt, wobei \theta der Winkel zwischen den Vektoren ist:

Das Skalarprodukt misst also, wie sehr zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen:

• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} > 0: Der Winkel ist spitz (kleiner als 90°).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0: Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (orthogonal).
• \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} < 0: Der Winkel ist stumpf (größer als 90°).

Beachte außerdem \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2, eine praktische Abkürzung für Längen.

So berechnest du den Winkel zwischen zwei Vektoren

Löse die geometrische Formel nach \cos\theta auf:

Rechenbeispiel 2: der Winkel zwischen zwei Vektoren

Bestimme den Winkel zwischen \mathbf{a} = \langle 1, 1, 0 \rangle und \mathbf{b} = \langle 1, 0, 1 \rangle.

Schritt 1. Skalarprodukt. \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1.

Schritt 2. Längen. |\mathbf{a}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} und |\mathbf{b}| = \sqrt{2}.

Schritt 3. Kosinus des Winkels.

Schritt 4. Arkuskosinus. \theta = \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, also 60^\circ.

Rechenbeispiel 3: auf Orthogonalität prüfen

Stehen \mathbf{a} = \langle 2, 1, -1 \rangle und \mathbf{b} = \langle 1, -1, 1 \rangle senkrecht aufeinander?

Das Skalarprodukt ist 0 und keiner der Vektoren ist der Nullvektor, also ja, sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Winkelberechnung ist nicht nötig.

Projektionen: der Schatten eines Vektors auf einem anderen

Das Skalarprodukt verrät dir auch, wie viel von \mathbf{a} in Richtung von \mathbf{b} zeigt. Die skalare Projektion (Komponente) und die vektorielle Projektion sind

Für \mathbf{a} = \langle 4, 2 \rangle und \mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle gilt \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 12 + 8 = 20 und |\mathbf{b}| = 5. Die Komponente ist \frac{20}{5} = 4, und die Projektion ist \frac{20}{25}\langle 3, 4 \rangle = \left\langle \frac{12}{5}, \frac{16}{5} \right\rangle, mit der erwarteten Länge 4. In der Physik ist die Arbeit einer konstanten Kraft \mathbf{F} entlang einer Verschiebung \mathbf{d} genau W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}.

Das Kreuzprodukt: Definition und Rechte-Hand-Regel

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) zweier Vektoren im Raum ist ein Vektor. Am einfachsten berechnest du es über eine 3-mal-3-Determinante:

Was es geometrisch bedeutet:

• Richtung: \mathbf{a} \times \mathbf{b} steht senkrecht auf \mathbf{a} und auf \mathbf{b}. Lass die Finger deiner rechten Hand entlang \mathbf{a} zeigen und krümme sie in Richtung \mathbf{b}, dann zeigt dein Daumen entlang \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
• Länge: |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta, und das ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten \mathbf{a} und \mathbf{b}.
• Die Reihenfolge zählt: \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
• Parallele Vektoren haben das Kreuzprodukt \mathbf{0}, weil \sin 0 = 0.

Rechenbeispiel 4: ein Kreuzprodukt berechnen

Bestimme \mathbf{a} \times \mathbf{b} für \mathbf{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle und \mathbf{b} = \langle 4, 5, 6 \rangle.

Schritt 1. Erste Komponente (Spalte von \mathbf{i} abdecken): a_2 b_3 - a_3 b_2 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3.

Schritt 2. Zweite Komponente (Spalte von \mathbf{j} abdecken): a_3 b_1 - a_1 b_3 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6.

Schritt 3. Dritte Komponente (Spalte von \mathbf{k} abdecken): a_1 b_2 - a_2 b_1 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3.

Schritt 4. Kontrolle mit Skalarprodukten. \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 1, 2, 3 \rangle = -3 + 12 - 9 = 0 und \langle -3, 6, -3 \rangle \cdot \langle 4, 5, 6 \rangle = -12 + 30 - 18 = 0. Das Ergebnis steht auf beiden senkrecht, wie es sein soll.

Das von \mathbf{a} und \mathbf{b} aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt |\langle -3, 6, -3 \rangle| = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Tipp: Mach immer die beiden Kontrollen mit dem Skalarprodukt. Ein Vorzeichenfehler in der mittleren Komponente ist der klassische Ausrutscher, und die Kontrolle findet ihn in Sekunden.

Rechenbeispiel 5: Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0) und R(0, 0, 3).

Schritt 1. Zwei Seitenvektoren ab P.

Schritt 2. Kreuzprodukt.

Schritt 3. Länge. \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7. Das ist der Flächeninhalt des Parallelogramms.

Schritt 4. Halbieren. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \frac{7}{2}.

Als Zugabe steht \langle 6, 3, 2 \rangle senkrecht auf der Ebene durch P, Q und R, diese Ebene ist also 6x + 3y + 2z = 6. (Kontrolle: Alle drei Punkte erfüllen die Gleichung.)

Skalarprodukt und Kreuzprodukt im Vergleich: Kurzübersicht

Typische Fehler bei Vektoren

1. Das Skalarprodukt als Vektor behandeln. \langle 1, 2 \rangle \cdot \langle 3, 4 \rangle = 11, eine einzelne Zahl.
2. Vergessen, durch beide Längen zu teilen, wenn du einen Winkel suchst. Teilst du nur durch |\mathbf{a}|, kann ein Kosinus größer als 1 herauskommen.
3. Die mittlere Komponente des Kreuzprodukts falsch herum bilden. Sie lautet a_3 b_1 - a_1 b_3, also das Negative der 2-mal-2-Unterdeterminante. Kontrolliere mit Skalarprodukten.
4. Die Reihenfolge eines Kreuzprodukts vertauschen und dabei ein Vorzeichen verlieren.
5. Vergessen zu halbieren beim Flächeninhalt eines Dreiecks.
6. Punkte in der falschen Reihenfolge subtrahieren. \overrightarrow{PQ} ist Q - P, Ende minus Anfang.

Sicherheit durch schnelle Wiederholungen

Skalar- und Kreuzprodukte sind reine Rechenarbeit, Tempo und Genauigkeit kommen also nur durch Wiederholung. Alles Weitere in der mehrdimensionalen Analysis, von partiellen Ableitungen bis zum Gradienten, baut darauf auf. Die interaktive Lektion unten wirft dir immer neue Vektoren zu, prüft jede Komponente sofort und zeigt dir genau, wo ein Vorzeichen verrutscht ist.