Esboço de gráficos: testes da primeira e da segunda derivada

Uma calculadora gráfica desenha uma curva em um segundo, então por que esboçar à mão? Porque a calculadora não diz por que a curva tem aquela forma, onde exatamente ela faz a curva, ou se uma oscilação fora da tela está escondendo um máximo. As derivadas respondem tudo isso. Com f' e f'' você consegue prever a forma exata de um gráfico antes de marcar um único ponto, e as questões de prova sobre isso estão entre os pontos mais previsíveis que você pode ganhar.

O que a primeira e a segunda derivada dizem

Esboçar um gráfico significa usar derivadas para descobrir onde ele sobe e desce, onde muda de direção e como se curva. Cada derivada responde a uma pergunta:

• A primeira derivada f' é a inclinação. Onde f'(x) > 0 a função é crescente; onde f'(x) < 0 ela é decrescente.
• A segunda derivada f'' é a taxa de variação da inclinação. Onde f''(x) > 0 o gráfico tem concavidade para cima (formato de xícara); onde f''(x) < 0 tem concavidade para baixo (formato de chapéu).

Um ponto crítico é um x do domínio em que f'(x) = 0 ou f'(x) não existe. Esses são os únicos lugares em que uma função suave pode mudar de direção. Um ponto de inflexão é um ponto do gráfico em que a concavidade muda.

O teste da primeira derivada

Seja c um ponto crítico. Verifique o sinal de f' logo à esquerda e logo à direita de c:

Se f' tem o mesmo sinal dos dois lados, não há extremo em c: o gráfico só fica plano por um instante e segue em frente.

O motivo é simples. Um máximo local é onde o gráfico para de subir e começa a descer, então a inclinação precisa passar de positiva para negativa.

O teste da segunda derivada

Se f'(c) = 0, muitas vezes você pode pular o quadro de sinais e calcular f''(c):

Uma tangente horizontal numa curva com concavidade para baixo só pode estar no topo de um morro; uma tangente horizontal numa xícara só pode estar no fundo. Mas se f''(c) = 0, o teste é inconclusivo. Isso não significa "não há extremo". Volte ao teste da primeira derivada.

Exemplo resolvido 1: o esboço completo de uma cúbica

Esboce f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.

Passo 1. Domínio e interceptos. Um polinômio está definido para todo x real. O intercepto com o eixo y é f(0) = 5.

Passo 2. Primeira derivada e pontos críticos.

Então f'(x) = 0 em x = -1 e x = 3.

Passo 3. Quadro de sinais de f'. Teste um valor em cada intervalo:

Pelo teste da primeira derivada, f tem um máximo local em x = -1 (de mais para menos) e um mínimo local em x = 3 (de menos para mais).

Passo 4. Alturas dos pontos de virada.

Passo 5. Segunda derivada e concavidade.

f''(x) < 0 para x < 1 (concavidade para baixo) e f''(x) > 0 para x > 1 (concavidade para cima). A concavidade muda em x = 1, então há um ponto de inflexão em (1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6).

Passo 6. Confirme com o teste da segunda derivada. f''(-1) = -12 < 0, então x = -1 é um máximo. f''(3) = 12 > 0, então x = 3 é um mínimo. Os dois resultados concordam com o passo 3.

Passo 7. Comportamento nas extremidades. O termo dominante x^3 prevalece, então f(x) \to -\infty quando x \to -\infty e f(x) \to \infty quando x \to \infty.

Passo 8. Esboço. Suba a partir do canto inferior esquerdo, curvando como um chapéu, atinja o pico em (-1, 10), passe por (0, 5), desça pelo ponto de inflexão (1, -6), onde a curvatura passa a ser de xícara, chegue ao fundo em (3, -22) e suba para o canto superior direito.

Repare que o ponto de inflexão fica exatamente no meio do caminho entre os dois pontos de virada. Isso vale para toda cúbica com dois pontos críticos, e é uma verificação prática.

Exemplo resolvido 2: quando o teste da segunda derivada falha

Analise f(x) = x^4 - 4x^3.

Passo 1. Pontos críticos.

Pontos críticos: x = 0 e x = 3.

Passo 2. Tente o teste da segunda derivada.

Em x = 3: f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0, então há um mínimo local em (3, 81 - 108) = (3, -27).

Em x = 0: f''(0) = 0. O teste é inconclusivo.

Passo 3. Use o teste da primeira derivada em x = 0. O fator 4x^2 nunca é negativo, então o sinal de f' perto de 0 vem de x - 3, que é negativo dos dois lados de 0. Logo, f' é negativa dos dois lados: f é decrescente ao passar por x = 0, e não há extremo ali, só um trecho plano.

Passo 4. Concavidade e pontos de inflexão. f'' = 12x(x - 2) muda de sinal em x = 0 e x = 2:

Os dois são pontos de inflexão: (0, 0) e (2, 16 - 32) = (2, -16). Então o trecho plano na origem também é um ponto de inflexão, e é por isso que ele não é máximo nem mínimo.

Exemplo resolvido 3: uma curva exponencial

Analise f(x) = x e^{-x}.

Passo 1. Primeira derivada (regra do produto):

Como e^{-x} > 0, o sinal de f' é o sinal de 1 - x: crescente para x < 1, decrescente para x > 1. Máximo local em \left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37).

Passo 2. Segunda derivada.

Concavidade para baixo para x < 2, para cima para x > 2. Ponto de inflexão em \left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27).

Passo 3. Conferência com o teste da segunda derivada. f''(1) = e^{-1}(-1) < 0, o que confirma o máximo.

Quando x \to \infty, e^{-x} encolhe muito mais rápido do que x cresce, então a curva se aproxima de 0 (veja limites no infinito).

Erros comuns no esboço de gráficos

1. Chamar todo f''(c) = 0 de ponto de inflexão. f(x) = x^4 tem f''(0) = 0, mas tem concavidade para cima em todo lugar. Confira se o sinal muda.
2. Concluir "não há extremo" quando o teste da segunda derivada falha. f''(c) = 0 significa "use outro teste", e não "nada acontece aqui". Para x^4, x = 0 é um mínimo.
3. Confundir o papel de cada derivada. f' dá crescimento e decrescimento; f'' dá a concavidade. Uma função pode ser crescente e ter concavidade para baixo ao mesmo tempo.
4. Testar sinais nos próprios pontos críticos. Escolha valores de teste estritamente dentro de cada intervalo.
5. Informar só os valores de x. Um máximo local é um ponto. Dê (-1, 10), e não só x = -1, a menos que a questão peça apenas a localização.
6. Esquecer pontos em que f' não existe. Para f(x) = x^{2/3}, f'(0) não existe, mas x = 0 é um mínimo (uma cúspide).

Referência rápida

Para encontrar o maior ou o menor valor absoluto de uma grandeza real, as mesmas ferramentas movem os problemas de otimização.

Pratique a leitura de gráficos a partir das derivadas

Esboçar gráficos é uma rotina: pontos críticos, quadro de sinais, segunda derivada, quadro de sinais, esboço. A rotina só fica rápida com repetição. A lição interativa abaixo permite praticar concavidade e a segunda derivada com feedback imediato, para você criar o hábito de conferir a troca de sinal antes de chamar algo de ponto de inflexão.