Integrais impróprias: convergência, integrais p e exemplos

Uma região que se estende para sempre pode ter área finita? Surpreendentemente, muitas vezes sim. A região sob y = \frac{1}{x^2} à direita de x = 1 nunca termina e, mesmo assim, sua área é exatamente 1. As integrais impróprias são a forma como o cálculo mede áreas assim, e elas aparecem em todo lugar, da probabilidade ao teste da integral para séries.

O que é uma integral imprópria?

Uma integral definida comum \int_a^b f(x)\,dx precisa de um intervalo finito e de uma função que permaneça finita nele. Uma integral imprópria quebra uma dessas regras:

• Tipo 1: um limite de integração infinito, como \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.
• Tipo 2: uma descontinuidade infinita, em que o integrando explode em algum ponto de [a, b], como \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx.

Nos dois casos a solução é a mesma: troque o ponto problemático por uma variável, calcule uma integral comum e tome um limite.

Se o limite é um número finito, a integral converge para esse número. Se o limite é infinito ou não existe, a integral diverge.

Tipo 1: limites de integração infinitos

Exemplo resolvido 1: 1/x² de 1 ao infinito

Calcule \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.

Passo 1. Escreva como um limite.

Passo 2. Integre em [1, b].

Passo 3. Calcule o limite. Quando b\to\infty, \frac1b\to 0:

A integral converge para 1.

Exemplo resolvido 2: 1/x de 1 ao infinito

Calcule \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx.

A integral diverge. A área sob \frac1x cresce sem limitação, só que bem devagar.

A figura mostra como esses dois casos estão próximos. As duas curvas passam por (1, 1) e as duas vão em direção a zero. A diferença é a velocidade: \frac{1}{x^2} encolhe rápido o bastante para a área total se estabilizar, e \frac1x não.

Exemplo resolvido 3: uma cauda exponencial

Calcule \int_0^\infty e^{-x}\,dx.

A integral converge para 1. O decaimento exponencial é tão rápido que suas caudas quase sempre convergem.

Exemplo resolvido 4: os dois limites infinitos

Calcule \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx.

Quando as duas extremidades são infinitas, divida a integral em qualquer ponto conveniente (o 0 é o mais fácil) e calcule cada metade separadamente:

As duas metades convergem, então a integral inteira converge para \pi. Se qualquer uma das metades divergisse, a integral inteira divergiria.

Divergência sem explodir

Uma integral pode divergir mesmo quando a área nunca se torna infinita. Considere \int_0^\infty \cos x\,dx:

O valor de \sin b continua oscilando entre -1 e 1 para sempre, então o limite não existe e a integral diverge. A convergência exige que o limite se fixe num único número finito.

Tipo 2: descontinuidades infinitas

Quando o integrando explode numa extremidade, aproxime-se dessa extremidade com um limite a partir de dentro do intervalo.

Exemplo resolvido 5: 1/√x de 0 a 1

Calcule \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx. O integrando é infinito em x = 0.

A integral converge para 2, mesmo que o gráfico dispare para o infinito na borda esquerda.

Exemplo resolvido 6: ln x de 0 a 1

Calcule \int_0^1 \ln x\,dx. Aqui \ln x \to -\infty quando x \to 0^+.

Passo 1. Escreva o limite. \displaystyle\lim_{t\to0^+}\int_t^1 \ln x\,dx.

Passo 2. Encontre a antiderivada. A integração por partes dá \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Passo 3. Calcule em [t, 1].

Passo 4. Calcule o limite. Quando t\to0^+, t \to 0, e t\ln t \to 0 também (reescreva como \frac{\ln t}{1/t} e use a regra de L'Hôpital). Então

A resposta é negativa porque \ln x < 0 em (0, 1): a região fica abaixo do eixo x.

Exemplo resolvido 7: a armadilha da descontinuidade escondida

Calcule \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx.

Se você ignorar o problema em x = 0 e substituir às cegas, obtém \left[-\frac1x\right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2. Isso não pode estar certo: o integrando é positivo em todo lugar, então a área não pode ser negativa.

O caminho correto é dividir na descontinuidade:

A metade da direita é \lim_{t\to0^+}\left[-\frac1x\right]_t^1 = \lim_{t\to0^+}\left(-1 + \frac1t\right) = \infty. Como uma das metades diverge, a integral inteira diverge.

Dica: antes de calcular qualquer integral definida, procure no intervalo pontos em que o denominador se anula, um logaritmo chega a zero ou uma tangente chega a \frac{\pi}{2}. O Teorema Fundamental do Cálculo só se aplica quando a função é contínua no intervalo inteiro.

A regra das integrais p

Os exemplos acima são casos particulares de uma regra que vale a pena memorizar. Para p > 0:

Repare que p = 1 (a função \frac1x) diverge nos dois intervalos. Ela está exatamente na fronteira.

O teste da comparação para integrais impróprias

Muitos integrandos não têm antiderivada simples. Ainda assim, você pode decidir a convergência comparando-os com algo que já conhece, geralmente uma integral p ou uma exponencial. Suponha que 0 \le g(x) \le f(x) para x \ge a:

• Se \int_a^\infty f(x)\,dx converge, então a menor, \int_a^\infty g(x)\,dx, também converge.
• Se \int_a^\infty g(x)\,dx diverge, então a maior, \int_a^\infty f(x)\,dx, também diverge.

Pense assim: "menor que algo finito é finito, maior que algo infinito é infinito".

Exemplo resolvido 8: comparação para mostrar convergência

A integral \int_1^\infty \frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx converge?

Como \cos x \le 1, o numerador vale no máximo 3, então 0 < \frac{2+\cos x}{x^2} \le \frac{3}{x^2}. E \int_1^\infty \frac{3}{x^2}\,dx = 3 converge (uma integral p com p = 2). Por comparação, a integral original converge.

Exemplo resolvido 9: comparação para mostrar divergência

A integral \int_2^\infty \frac{1}{\ln x}\,dx diverge?

Para x \ge 2, \ln x < x, então \frac{1}{\ln x} > \frac{1}{x}. Como \int_2^\infty \frac1x\,dx diverge, a integral maior também diverge.

A mesma ideia, aplicada a somas em vez de áreas, dá os testes de comparação para séries. Veja testes de convergência para entender como eles se relacionam.

Por que as integrais impróprias importam

As integrais impróprias não são só uma curiosidade de livro. Elas aparecem sempre que uma grandeza se acumula ao longo de um intervalo ilimitado:

• Probabilidade. Uma densidade de probabilidade precisa ter área total 1 em toda a reta real. A famosa curva normal depende de \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.
• Física. O trabalho necessário para levar um foguete infinitamente longe da Terra é uma integral de \frac{1}{r^2} até o infinito, e ela converge. É esse valor finito que torna possível a velocidade de escape.
• Séries. O teste da integral decide se uma soma como \sum \frac{1}{n^2} converge verificando a integral imprópria correspondente.

Erros comuns com integrais impróprias

1. Não perceber uma descontinuidade interna. Como o exemplo 7 mostra, isso dá uma resposta finita para uma integral divergente.
2. Tratar \infty como número. Escreva o limite. Expressões como -\frac{1}{\infty} são, na melhor das hipóteses, uma abreviação, e escondem erros.
3. Dividir \int_{-\infty}^\infty com um único limite. \lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx não é a definição. Funções ímpares como x dão 0 desse jeito, mas \int_{-\infty}^\infty x\,dx diverge.
4. Comparar no sentido errado. Ser menor que uma integral divergente não prova nada, e ser maior que uma convergente também não.
5. Esquecer que a regra p se inverte em [0, 1]. \int_0^1 \frac{dx}{x^2} diverge, embora \int_1^\infty \frac{dx}{x^2} convirja.

Pratique a identificação da convergência

As integrais impróprias ficam intuitivas depois que você vê um bom número delas: você começa a sentir que \frac{1}{x^2} se estabiliza e \frac1x não, antes mesmo de escrever um único limite. A lição interativa abaixo percorre cada tipo com feedback imediato, para você desenvolver essa intuição junto com a técnica.