Décomposition en éléments simples : décomposer et intégrer

On peut additionner \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} pour obtenir \frac{5x-1}{x^2-x-2} en quelques lignes. Mais si une intégrale vous donne \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx, aucune règle de base ne s'applique. La décomposition en éléments simples fait cette addition à l'envers, en cassant une fraction difficile en morceaux simples que l'on intègre d'un coup d'œil.

Qu'est-ce que la décomposition en éléments simples ?

Une fonction rationnelle est un polynôme divisé par un autre. La décomposition en éléments simples réécrit une fonction rationnelle comme une somme de fractions plus simples dont les dénominateurs sont les facteurs du dénominateur de départ. Par exemple :

Chaque morceau de droite s'intègre en logarithme népérien, donc l'intégrale devient une routine :

Étape 0 : la fraction est-elle propre ?

La décomposition en éléments simples ne fonctionne que si le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Sinon, faites d'abord la division euclidienne des polynômes.

Par exemple, \frac{x^2+1}{x^2-1} a des degrés égaux. La division donne

et seul \frac{2}{x^2-1} doit être décomposé.

Les formes des éléments simples

Factorisez complètement le dénominateur. Chaque type de facteur apporte son propre type de terme :

Un trinôme est irréductible quand il ne se factorise pas dans les réels, c'est-à-dire quand b^2 - 4c < 0. Par exemple x^2 + 1 et x^2 + 2x + 5.

Cas 1 : facteurs du premier degré distincts

Exemple corrigé 1

Calculez \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx.

Étape 1. Vérifier que la fraction est propre. Degré 1 sur degré 2. Parfait.

Étape 2. Factoriser le dénominateur. x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).

Étape 3. Écrire la forme.

Étape 4. Chasser les dénominateurs. On multiplie les deux membres par (x-2)(x+1) :

Étape 5. Remplacer par des valeurs pratiques. En x = 2, le terme en B disparaît : 9 = 3A, donc A = 3. En x = -1, le terme en A disparaît : -6 = -3B, donc B = 2.

Étape 6. Intégrer.

La méthode du cache : un raccourci pour les facteurs du premier degré

Pour un facteur du premier degré distinct (x-a), il existe un raccourci en une ligne. Cachez ce facteur dans la fraction de départ, puis remplacez x = a dans ce qui reste.

Pour \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} :

• Pour trouver A au-dessus de (x-2) : on cache (x-2), il reste \frac{5x-1}{x+1}. En x = 2 : \frac{9}{3} = 3.
• Pour trouver B au-dessus de (x+1) : on cache (x+1), il reste \frac{5x-1}{x-2}. En x = -1 : \frac{-6}{-3} = 2.

Mêmes réponses, presque sans calcul. C'est exactement l'étape 5 faite de tête.

Exemple corrigé 2 : méthode du cache et division euclidienne

Décomposez \frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}.

• On cache (x-1) et on évalue \frac{2}{x+1} en x = 1 : A = 1.
• On cache (x+1) et on évalue \frac{2}{x-1} en x = -1 : B = -1.

En combinant avec la division euclidienne de l'étape 0 :

Astuce : la méthode du cache donne le coefficient de tout facteur du premier degré distinct, et celui de la plus haute puissance d'un facteur répété. Pour les puissances inférieures d'un facteur répété et pour les trinômes, utilisez une autre méthode.

Exemple corrigé 3 : trois facteurs du premier degré distincts

Calculez \int \frac{2x^2+6x-2}{x^3+x^2-2x}\,dx.

Étape 1. Factoriser le dénominateur. On met x en facteur, puis on factorise le trinôme :

Étape 2. Écrire la forme.

Étape 3. Cacher chaque facteur.

• On cache x et on évalue \frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x+2)} en x = 0 : \frac{-2}{(-1)(2)} = 1, donc A = 1.
• On cache (x-1) et on évalue \frac{2x^2+6x-2}{x(x+2)} en x = 1 : \frac{6}{3} = 2, donc B = 2.
• On cache (x+2) et on évalue \frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)} en x = -2 : \frac{-6}{6} = -1, donc C = -1.

Étape 4. Intégrer.

Avec trois facteurs du premier degré, résoudre un système d'équations prendrait plusieurs lignes. La méthode du cache demande trois évaluations rapides.

Exemple corrigé 4 : une intégrale définie

Calculez \int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx.

D'après l'exemple 2, \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}, donc

On simplifie avec les propriétés du logarithme : \ln 2 - \ln 4 = -\ln 2 et \ln 1 - \ln 3 = -\ln 3, donc la valeur est -\ln 2 + \ln 3 = \ln\frac32 \approx 0.405.

Remarquez que l'intervalle [2, 3] reste loin des asymptotes en x = \pm 1. Si une borne tombait sur une asymptote, ce serait une intégrale impropre et il faudrait passer par une limite.

Deux façons de trouver les constantes

Vous avez maintenant vu les deux méthodes classiques. Il est utile de savoir laquelle est la plus rapide selon le cas.

• Remplacer par les racines (ou méthode du cache). Substituez la racine de chaque facteur du premier degré dans l'égalité sans dénominateurs. Chaque substitution annule tous les termes sauf un, et on lit directement une constante. C'est la méthode la plus rapide pour les facteurs du premier degré distincts.
• Identifier les coefficients. Développez le membre de droite, regroupez les puissances de x, et égalez chaque coefficient au coefficient correspondant à gauche. Cela marche toujours, et c'est la seule option pour les trinômes et pour les puissances inférieures d'un facteur répété.

En pratique, on combine souvent les deux : on remplace par les racines pour obtenir le plus de constantes possible, puis on identifie un ou deux coefficients pour finir.

Cas 2 : facteurs du premier degré répétés

Exemple corrigé 5

Calculez \int \frac{4x}{(x-1)(x+1)^2}\,dx.

Étape 1. Écrire la forme. Le facteur (x+1) est au carré, il a donc droit à deux termes :

Étape 2. Chasser les dénominateurs.

Étape 3. Remplacer par les racines. En x = 1 : 4 = 4A, donc A = 1. En x = -1 : -4 = -2C, donc C = 2.

Étape 4. Identifier un coefficient pour la dernière constante. Les termes en x^2 à droite sont Ax^2 + Bx^2, et le membre de gauche n'a pas de terme en x^2, donc A + B = 0 et B = -1.

Étape 5. Intégrer chaque morceau. Le dernier terme est une puissance, pas un logarithme :

Le terme (x+1)^{-2} s'intègre en \frac{(x+1)^{-1}}{-1}, d'où le -\frac{2}{x+1}.

Cas 3 : trinômes irréductibles

Exemple corrigé 6

Calculez \int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx.

Étape 1. Écrire la forme. x^2 + 1 ne se factorise pas, il a donc droit à un numérateur du premier degré :

Étape 2. Chasser les dénominateurs et développer.

Étape 3. Identifier les coefficients. Terme constant : A = 1. Terme en x : C = 2. Terme en x^2 : A + B = 2, donc B = 1.

Étape 4. Séparer le morceau du trinôme.

Le morceau du milieu se traite par changement de variable avec u = x^2+1, ce qui donne \tfrac12\ln(x^2+1). Le dernier morceau est une arctangente classique.

Étape 5. Rassembler.

Astuce : si le trinôme ressemble à x^2 + 2x + 5, passez à la forme canonique pour obtenir (x+1)^2 + 4, puis utilisez \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C.

Erreurs fréquentes avec les éléments simples

1. Sauter la division euclidienne. Si la fraction n'est pas propre, la forme de la décomposition est fausse et les constantes ne donneront pas de système cohérent.
2. Ne donner qu'un terme à un facteur répété. (x+1)^2 demande à la fois \frac{B}{x+1} et \frac{C}{(x+1)^2}.
3. Mettre une constante au-dessus d'un trinôme. Un trinôme irréductible demande Bx + C au numérateur, pas seulement B.
4. Intégrer \frac{1}{(x+1)^2} en logarithme. C'est une puissance : -\frac{1}{x+1}.
5. Ne pas factoriser complètement. x^3 - x = x(x-1)(x+1) a trois facteurs du premier degré, pas un facteur du premier degré et un trinôme.
6. Oublier les valeurs absolues dans les logarithmes.

Mémo : intégrer chaque morceau

Faites de la décomposition un réflexe

La décomposition en éléments simples est une procédure, et les procédures s'ancrent par la répétition. Après une douzaine de décompositions, choisir la bonne forme et utiliser la méthode du cache deviendra automatique. Essayez la leçon interactive ci-dessous : elle vérifie chaque constante au fur et à mesure et vous montre exactement où une mise en place s'est trompée.