Partialbruchzerlegung: Zerlegen und Integrieren, Schritt für Schritt

Du kannst \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} in wenigen Zeilen zu \frac{5x-1}{x^2-x-2} addieren. Aber wenn ein Integral dir \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx vorsetzt, greift keine Grundregel. Die Partialbruchzerlegung führt diese Addition rückwärts aus und zerlegt einen schwierigen Bruch in einfache Teile, die du auf einen Blick integrieren kannst.

Was ist Partialbruchzerlegung?

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Polynom geteilt durch ein anderes. Die Partialbruchzerlegung schreibt eine gebrochenrationale Funktion als Summe einfacherer Brüche, deren Nenner die Faktoren des ursprünglichen Nenners sind. Zum Beispiel:

Jeder Teil rechts ergibt beim Integrieren einen natürlichen Logarithmus, das Integral wird also Routine:

Schritt 0: Ist der Bruch echt gebrochen?

Die Partialbruchzerlegung funktioniert nur, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Andernfalls führst du zuerst eine Polynomdivision durch.

Zum Beispiel haben bei \frac{x^2+1}{x^2-1} Zähler und Nenner denselben Grad. Die Division ergibt

und nur \frac{2}{x^2-1} muss zerlegt werden.

Die Ansätze der Partialbruchzerlegung

Zerlege den Nenner vollständig in Faktoren. Jede Art von Faktor liefert ihre eigene Art von Term:

Ein quadratischer Term ist nicht zerlegbar (irreduzibel), wenn er sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren lässt, und das ist bei b^2 - 4c < 0 der Fall. Beispiele sind x^2 + 1 und x^2 + 2x + 5.

Fall 1: einfache Linearfaktoren

Rechenbeispiel 1

Berechne \int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx.

Schritt 1. Prüfen, ob der Bruch echt ist. Grad 1 über Grad 2. Passt.

Schritt 2. Nenner faktorisieren. x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).

Schritt 3. Ansatz aufschreiben.

Schritt 4. Nenner beseitigen. Multipliziere beide Seiten mit (x-2)(x+1):

Schritt 5. Geschickte Werte einsetzen. Bei x = 2 fällt der B-Term weg: 9 = 3A, also A = 3. Bei x = -1 fällt der A-Term weg: -6 = -3B, also B = 2.

Schritt 6. Integrieren.

Die Zuhaltemethode: eine Abkürzung für Linearfaktoren

Für einen einfachen Linearfaktor (x-a) gibt es eine Abkürzung in einer Zeile. Halte diesen Faktor im ursprünglichen Bruch zu und setze dann x = a in den Rest ein.

Für \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}:

• Um A über (x-2) zu finden: Halte (x-2) zu, übrig bleibt \frac{5x-1}{x+1}. Bei x = 2: \frac{9}{3} = 3.
• Um B über (x+1) zu finden: Halte (x+1) zu, übrig bleibt \frac{5x-1}{x-2}. Bei x = -1: \frac{-6}{-3} = 2.

Dieselben Ergebnisse, fast ohne Algebra. Es ist genau Schritt 5, im Kopf erledigt.

Rechenbeispiel 2: Zuhaltemethode und Polynomdivision zusammen

Zerlege \frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}.

• Halte (x-1) zu und werte \frac{2}{x+1} bei x = 1 aus: A = 1.
• Halte (x+1) zu und werte \frac{2}{x-1} bei x = -1 aus: B = -1.

Zusammen mit der Polynomdivision aus Schritt 0:

Tipp: Die Zuhaltemethode liefert den Koeffizienten für jeden einfachen Linearfaktor und für die höchste Potenz eines mehrfachen Faktors. Für die niedrigeren Potenzen eines mehrfachen Faktors und für quadratische Faktoren brauchst du eine andere Methode.

Rechenbeispiel 3: drei einfache Linearfaktoren

Berechne \int \frac{2x^2+6x-2}{x^3+x^2-2x}\,dx.

Schritt 1. Nenner faktorisieren. Klammere x aus und faktorisiere dann den quadratischen Term:

Schritt 2. Ansatz aufschreiben.

Schritt 3. Jeden Faktor zuhalten.

• Halte x zu und werte \frac{2x^2+6x-2}{(x-1)(x+2)} bei x = 0 aus: \frac{-2}{(-1)(2)} = 1, also A = 1.
• Halte (x-1) zu und werte \frac{2x^2+6x-2}{x(x+2)} bei x = 1 aus: \frac{6}{3} = 2, also B = 2.
• Halte (x+2) zu und werte \frac{2x^2+6x-2}{x(x-1)} bei x = -2 aus: \frac{-6}{6} = -1, also C = -1.

Schritt 4. Integrieren.

Bei drei Linearfaktoren würde das Lösen eines Gleichungssystems mehrere Zeilen dauern. Die Zuhaltemethode braucht drei schnelle Auswertungen.

Rechenbeispiel 4: ein bestimmtes Integral

Berechne \int_2^3 \frac{2}{x^2-1}\,dx.

Aus Beispiel 2 wissen wir \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}, also

Vereinfache mit den Logarithmengesetzen: \ln 2 - \ln 4 = -\ln 2 und \ln 1 - \ln 3 = -\ln 3, der Wert ist also -\ln 2 + \ln 3 = \ln\frac32 \approx 0.405.

Beachte, dass das Intervall [2, 3] den Asymptoten bei x = \pm 1 fernbleibt. Läge eine Grenze auf einer Asymptote, wäre das ein uneigentliches Integral, und du bräuchtest einen Grenzwert.

Zwei Wege, die Konstanten zu finden

Du hast jetzt beide Standardmethoden gesehen. Es hilft zu wissen, wann welche schneller ist.

• Nullstellen einsetzen (oder zuhalten). Setze die Nullstelle jedes Linearfaktors in die Gleichung ohne Nenner ein. Jedes Einsetzen lässt alle Terme bis auf einen verschwinden, du liest also sofort eine Konstante ab. Das ist die schnellste Methode bei einfachen Linearfaktoren.
• Koeffizientenvergleich. Multipliziere die rechte Seite aus, sortiere nach Potenzen von x und setze jeden Koeffizienten gleich dem entsprechenden auf der linken Seite. Das funktioniert immer und ist die einzige Möglichkeit bei quadratischen Faktoren und bei den niedrigeren Potenzen eines mehrfachen Faktors.

In der Praxis kombinieren die meisten beides: Nullstellen einsetzen, um möglichst viele Konstanten zu bekommen, und dann ein oder zwei Koeffizienten vergleichen, um fertig zu werden.

Fall 2: mehrfache Linearfaktoren

Rechenbeispiel 5

Berechne \int \frac{4x}{(x-1)(x+1)^2}\,dx.

Schritt 1. Ansatz aufschreiben. Der Faktor (x+1) ist quadriert, er bekommt also zwei Terme:

Schritt 2. Nenner beseitigen.

Schritt 3. Nullstellen einsetzen. Bei x = 1: 4 = 4A, also A = 1. Bei x = -1: -4 = -2C, also C = 2.

Schritt 4. Einen Koeffizienten für die letzte Konstante vergleichen. Die x^2-Terme rechts sind Ax^2 + Bx^2, und links gibt es keinen x^2-Term, also A + B = 0 und B = -1.

Schritt 5. Jeden Teil integrieren. Der letzte Term ist eine Potenz, kein Logarithmus:

Der Term (x+1)^{-2} integriert sich zu \frac{(x+1)^{-1}}{-1}, daher kommt -\frac{2}{x+1}.

Fall 3: nicht zerlegbare quadratische Faktoren

Rechenbeispiel 6

Berechne \int \frac{2x^2+2x+1}{x(x^2+1)}\,dx.

Schritt 1. Ansatz aufschreiben. x^2 + 1 lässt sich nicht faktorisieren, bekommt also einen linearen Zähler:

Schritt 2. Nenner beseitigen und ausmultiplizieren.

Schritt 3. Koeffizienten vergleichen. Konstante: A = 1. x-Term: C = 2. x^2-Term: A + B = 2, also B = 1.

Schritt 4. Den quadratischen Teil aufteilen.

Der mittlere Teil ist eine Substitution mit u = x^2+1 und ergibt \tfrac12\ln(x^2+1). Der letzte Teil ist ein Standard-Arkustangens.

Schritt 5. Zusammenfassen.

Tipp: Lautet der quadratische Term etwa x^2 + 2x + 5, ergänze quadratisch zu (x+1)^2 + 4 und verwende dann \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a\arctan\frac{u}{a} + C.

Typische Fehler bei der Partialbruchzerlegung

1. Die Polynomdivision überspringen. Ist der Bruch unecht, stimmt der Ansatz nicht, und die Konstanten lassen sich nicht widerspruchsfrei bestimmen.
2. Einem mehrfachen Faktor nur einen Term geben. (x+1)^2 braucht sowohl \frac{B}{x+1} als auch \frac{C}{(x+1)^2}.
3. Eine Konstante über einen quadratischen Faktor setzen. Ein nicht zerlegbarer quadratischer Faktor braucht Bx + C im Zähler, nicht nur B.
4. \frac{1}{(x+1)^2} als Logarithmus integrieren. Es ist eine Potenz: -\frac{1}{x+1}.
5. Nicht vollständig faktorisieren. x^3 - x = x(x-1)(x+1) hat drei Linearfaktoren, nicht einen linearen und einen quadratischen.
6. Die Betragsstriche im Logarithmus weglassen.

Kurzübersicht: jeden Teil integrieren

Mach die Zerlegung zur Gewohnheit

Die Partialbruchzerlegung ist ein Verfahren, und Verfahren sitzen durch Wiederholung. Wenn du ein Dutzend Zerlegungen aufgestellt hast, fühlen sich die Wahl des richtigen Ansatzes und die Zuhaltemethode automatisch an. Probier die interaktive Lektion unten aus: Sie prüft jede Konstante unterwegs und zeigt dir genau, wo ein Ansatz schiefgelaufen ist.