Teorema do Confronto: sen x/x, x² sen(1/x) e limites trigonométricos

Você substitui x = 0 em \frac{\sin x}{x} e obtém \frac{0}{0}. Tenta x^2 \sin(1/x) e a calculadora mostra uma oscilação que nunca se acalma. Fatorar não ajuda, e as propriedades dos limites dizem que você não pode separar o produto, porque \sin(1/x) não tem limite. O Teorema do Confronto é a ferramenta feita exatamente para esses limites.

Este guia explica o que o Teorema do Confronto diz, apresenta um método confiável em quatro passos e resolve os limites trigonométricos clássicos que toda disciplina de Cálculo 1 cobra, incluindo a famosa demonstração de que \frac{\sin x}{x} \to 1.

O que é o Teorema do Confronto?

Em linguagem simples: se uma função está presa entre um piso e um teto, e o piso e o teto se encontram na mesma altura, a função do meio também é espremida até essa altura.

Eis o enunciado formal. Suponha que, para todo x perto de a (exceto possivelmente em x = a),

e que

Então

O mesmo enunciado vale para limites laterais e para limites com x \to \infty. Você também vai encontrá-lo com o nome de Teorema do Sanduíche. A página de referência do Teorema do Confronto traz o enunciado de forma compacta.

Dois detalhes importam:

1. A desigualdade só precisa valer perto de a, não em todo lugar. Para x \to 0, basta que ela valha em algum intervalo pequeno, como 0 < \lvert x \rvert < 1.
2. As duas cotas precisam ter o mesmo limite. Se o piso tende a -1 e o teto tende a 1, você só descobriu que f fica entre eles, e não para onde ela vai.

Se quiser relembrar o que é um limite antes de continuar, veja O que é um limite no cálculo?.

A desigualdade que resolve quase todo exercício

Seno e cosseno nunca saem do intervalo [-1, 1], não importa o que você coloque dentro deles:

Esse é todo o truque. O argumento pode ser 1/x, x^3 ou e^x, e o resultado continua preso. A maioria dos exercícios de confronto começa por essa linha e depois multiplica ou divide cada parte por algo que tende a 0 ou a \infty. Você pode ver a onda limitada na página da função seno.

Como usar o Teorema do Confronto em 4 passos

1. Isole a parte limitada. Encontre a parte que oscila, geralmente um seno ou cosseno, e escreva -1 \le \sin(\dots) \le 1.
2. Monte o resto da função. Multiplique (ou divida) as três partes pelo fator restante. Se esse fator puder ser negativo, use módulo para que a desigualdade não se inverta sem você perceber.
3. Calcule o limite das duas cotas. Use substituição direta ou as propriedades dos limites.
4. Confira se elas coincidem. Se as duas cotas tendem a L, conclua que a função do meio também tende.

Exemplo resolvido 1: x² sen(1/x) quando x tende a 0

Calcule \displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right).

Por que os outros métodos falham. A substituição dá 0 \cdot \sin(1/0), que não está definido. A propriedade do produto exige que os dois limites existam, mas \sin(1/x) oscila entre -1 e 1 infinitas vezes perto de 0 e não tem limite.

Passo 1. Limite a parte que oscila. Para todo x \ne 0,

Passo 2. Multiplique por x^2. Como x^2 > 0 para x \ne 0, a multiplicação não inverte as desigualdades:

Passo 3. Calcule os limites das cotas.

Passo 4. Conclua. As duas cotas tendem a 0, então

Exemplo resolvido 2: sen x / x quando x tende ao infinito

Calcule \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}.

Passo 1. Comece por -1 \le \sin x \le 1.

Passo 2. Só nos interessam valores grandes de x, então tome x > 0. Dividir por um número positivo mantém o sentido da desigualdade:

Passo 3. As duas cotas tendem a 0 quando x \to \infty (veja limites no infinito se esse passo não for familiar).

Passo 4. Portanto

Repare no contraste com o próximo exemplo. A mesma expressão tem limite 0 no infinito, mas limite 1 em zero. Sempre confira para onde x está indo.

Exemplo resolvido 3: por que o limite de sen x / x quando x tende a 0 é 1

Este é o limite trigonométrico mais importante de Cálculo 1, conhecido como limite trigonométrico fundamental:

A substituição dá \frac{0}{0}, e a desigualdade simples -1 \le \sin x \le 1 não basta aqui (dividindo por x obtemos as cotas \pm\frac{1}{x}, que explodem). Precisamos de cotas mais precisas, e elas vêm da geometria.

Passo 1. Monte o círculo trigonométrico. Tome 0 < x < \frac{\pi}{2}, medido em radianos. Seja O a origem, A = (1, 0), P = (\cos x, \sin x) no círculo e T = (1, \tan x) o ponto onde a reta que passa por O e P encontra a reta vertical x = 1.

Passo 2. Compare três áreas. O triângulo pequeno OAP está contido no setor OAP, que está contido no triângulo grande OAT:

• Triângulo OAP: base 1, altura \sin x, área \frac{1}{2}\sin x.
• Setor de ângulo x num círculo de raio 1: área \frac{1}{2}x.
• Triângulo OAT: base 1, altura \tan x, área \frac{1}{2}\tan x.

Logo

Passo 3. Divida por \sin x. Ele é positivo em 0 < x < \frac{\pi}{2}, então nada se inverte:

Passo 4. Tome os inversos. As três quantidades são positivas, e tomar o inverso de números positivos inverte as desigualdades:

Passo 5. Trate o caso de x negativo. Tanto \cos x quanto \frac{\sin x}{x} são funções pares (trocar x por -x não muda nada), então a mesma desigualdade vale para -\frac{\pi}{2} < x < 0.

Passo 6. Aplique o confronto. \lim_{x \to 0} \cos x = 1 e \lim_{x \to 0} 1 = 1, então

Dica: é por causa desse limite que a derivada de \sin x é \cos x. A demonstração em Derivadas das funções trigonométricas usa esse limite diretamente. É também por isso que usar a regra de L'Hôpital em \frac{\sin x}{x} é um argumento circular: L'Hôpital precisa dessa derivada antes.

Exemplo resolvido 4: o limite de (1 - cos x)/x

Calcule \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}.

Depois que você sabe que \frac{\sin x}{x} \to 1, não precisa de um novo confronto. A álgebra transforma este limite no que você já conhece.

Passo 1. Multiplique pelo conjugado 1 + \cos x:

Passo 2. Use 1 - \cos^2 x = \sin^2 x:

Passo 3. Calcule cada limite. O primeiro fator tende a 1. O segundo é contínuo em 0, então basta substituir: \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0.

Os mesmos passos resolvem um parente próximo. Para \frac{1 - \cos x}{x^2}, você obtém \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Exemplo resolvido 5: ajustando sen(kx)/x e tg x/x

Muitas questões de prova disfarçam \frac{\sin x}{x}. A saída é fazer o denominador coincidir com o argumento do seno.

Calcule \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}.

O argumento é 5x, então queremos 5x no denominador. Multiplique e divida por 5:

Quando x \to 0, também u = 5x \to 0, então \frac{\sin u}{u} \to 1. A resposta é \frac{5}{3}.

Calcule \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.

Escreva a tangente como seno sobre cosseno:

A versão com módulo

Um atalho útil decorre do Teorema do Confronto: se \lvert f(x) \rvert \le h(x) e h(x) \to 0, então f(x) \to 0. Isso porque -h(x) \le f(x) \le h(x), e os dois lados tendem a 0.

Por exemplo, \lvert x \sin(1/x) \rvert \le \lvert x \rvert e \lvert x \rvert \to 0, então \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0. Essa versão só funciona quando o limite procurado é 0.

Erros comuns com o Teorema do Confronto

1. Cotas que não coincidem. Escrever -1 \le \cos x \le 1 e parar aí não prova nada sobre o limite. O piso e o teto precisam tender ao mesmo número.
2. Inverter sinais sem cuidado. Para x \sin(1/x), escrever -x \le x\sin(1/x) \le x está errado quando x < 0, porque multiplicar por um número negativo inverte as desigualdades. Use -\lvert x \rvert \le x\sin(1/x) \le \lvert x \rvert.
3. Separar o limite pela propriedade do produto. Escrever \lim x^2 \cdot \lim \sin(1/x) = 0 \cdot (\text{something}) é inválido, porque \lim_{x \to 0}\sin(1/x) não existe. As propriedades dos limites exigem que cada parte tenha limite.
4. Confundir x \to 0 com x \to \infty. \frac{\sin x}{x} tende a 1 em 0, mas a 0 no infinito.
5. Argumento e denominador diferentes. \frac{\sin(5x)}{x} não é 1. É 5 \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \to 5.
6. Usar graus. A área do setor é \frac{1}{2}x apenas em radianos. Em graus, \frac{\sin x}{x} tende a \frac{\pi}{180}, e não a 1.

Para mais armadilhas como essas em todo o conteúdo de Cálculo 1, veja 12 erros comuns em cálculo.

Referência rápida: limites trigonométricos clássicos

O Teorema do Confronto é uma das cinco estratégias padrão para calcular limites. Para o conjunto completo de ferramentas, incluindo quando recorrer primeiro à substituição, à fatoração ou ao conjugado, leia Como calcular limites.

Pratique até as cotas virem naturalmente

A parte difícil do Teorema do Confronto não é o teorema. É escolher as cotas e manter os sinais das desigualdades corretos. Isso fica automático depois de uma dúzia de exercícios. Resolva a prática interativa de limites abaixo: cada questão dá retorno imediato, aponta na hora uma cota que não coincide ou uma desigualdade invertida e mostra a resolução completa, para você ver exatamente onde o confronto acontece.