Teorema del Sándwich: sin x/x, x² sin(1/x) y límites trigonométricos

Sustituyes x = 0 en \frac{\sin x}{x} y obtienes \frac{0}{0}. Pruebas con x^2 \sin(1/x) y la calculadora muestra una oscilación que nunca se estabiliza. Factorizar no sirve de nada, y las propiedades de los límites dicen que no puedes separar el producto porque \sin(1/x) no tiene límite. El teorema del sándwich es la herramienta pensada precisamente para estos límites.

Esta guía explica qué dice el teorema del sándwich, ofrece un método fiable en cuatro pasos y resuelve los límites trigonométricos clásicos que aparecen en todo curso de Cálculo 1, incluida la famosa demostración de que \frac{\sin x}{x} \to 1.

¿Qué es el teorema del sándwich?

Dicho de forma sencilla: si una función está atrapada entre un suelo y un techo, y el suelo y el techo se juntan a la misma altura, la función del medio queda apretada hasta esa misma altura.

Este es el enunciado formal. Supongamos que para todo x cerca de a (salvo quizá en x = a),

y que

Entonces

El mismo enunciado vale para límites laterales y para límites cuando x \to \infty. También lo encontrarás como teorema del encaje o teorema de la función intermedia. En la página de referencia del teorema del sándwich tienes el enunciado en forma resumida.

Hay dos detalles importantes:

1. La desigualdad solo tiene que cumplirse cerca de a, no en todas partes. Para x \to 0, basta con que se cumpla en un intervalo pequeño como 0 < \lvert x \rvert < 1.
2. Las dos cotas deben tener el mismo límite. Si el suelo tiende a -1 y el techo a 1, solo sabes que f se queda entre ellos, no hacia dónde va.

Si quieres repasar qué es un límite antes de seguir, consulta ¿Qué es un límite en cálculo?.

La cota que hace funcionar casi todos los problemas

El seno y el coseno nunca salen del intervalo [-1, 1], sea cual sea su argumento:

Ese es todo el truco. El argumento puede ser 1/x, x^3 o e^x, y el resultado sigue atrapado. La mayoría de los problemas del sándwich empiezan con esta línea y después multiplican o dividen cada miembro por algo que tiende a 0 o a \infty. Puedes ver la onda acotada en la página de la función seno.

Cómo usar el teorema del sándwich en 4 pasos

1. Aísla la parte acotada. Localiza la parte oscilante, normalmente un seno o un coseno, y escribe -1 \le \sin(\dots) \le 1.
2. Reconstruye el resto de la función. Multiplica (o divide) los tres miembros por el factor restante. Si ese factor puede ser negativo, usa valores absolutos para que la desigualdad no se invierta sin que te des cuenta.
3. Calcula el límite de ambas cotas. Usa sustitución directa o las propiedades de los límites.
4. Comprueba que coinciden. Si ambas cotas tienden a L, concluye que la función del medio también.

Ejemplo resuelto 1: x² sin(1/x) cuando x tiende a 0

Calcula \displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right).

Por qué fallan otros métodos. La sustitución da 0 \cdot \sin(1/0), que no está definido. La propiedad del producto exige que existan ambos límites, pero \sin(1/x) oscila entre -1 y 1 infinitas veces cerca de 0 y no tiene límite.

Paso 1. Acota la parte oscilante. Para todo x \ne 0,

Paso 2. Multiplica por x^2. Como x^2 > 0 para x \ne 0, multiplicar no invierte las desigualdades:

Paso 3. Calcula los límites de las cotas.

Paso 4. Concluye. Ambas cotas tienden a 0, así que

Ejemplo resuelto 2: sin x / x cuando x tiende a infinito

Calcula \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}.

Paso 1. Parte de -1 \le \sin x \le 1.

Paso 2. Solo nos interesan valores grandes de x, así que tomamos x > 0. Dividir entre un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad:

Paso 3. Ambas cotas tienden a 0 cuando x \to \infty (consulta límites en el infinito si este paso no te resulta familiar).

Paso 4. Por lo tanto,

Fíjate en el contraste con el siguiente ejemplo. La misma expresión tiene límite 0 en el infinito pero límite 1 en cero. Comprueba siempre hacia dónde tiende x.

Ejemplo resuelto 3: por qué el límite de sin x / x cuando x tiende a 0 es 1

Este es el límite trigonométrico más importante de Cálculo 1:

La sustitución da \frac{0}{0}, y la cota simple -1 \le \sin x \le 1 no basta aquí (al dividir entre x se obtienen las cotas \pm\frac{1}{x}, que se disparan). Necesitamos cotas más finas, y las obtenemos de la geometría.

Paso 1. Plantea la circunferencia unidad. Toma 0 < x < \frac{\pi}{2}, medido en radianes. Sea O el origen, A = (1, 0), P = (\cos x, \sin x) sobre la circunferencia y T = (1, \tan x) el punto donde la recta que pasa por O y P corta a la recta vertical x = 1.

Paso 2. Compara tres áreas. El triángulo pequeño OAP está dentro del sector OAP, que a su vez está dentro del triángulo grande OAT:

• Triángulo OAP: base 1, altura \sin x, área \frac{1}{2}\sin x.
• Sector de ángulo x en una circunferencia de radio 1: área \frac{1}{2}x.
• Triángulo OAT: base 1, altura \tan x, área \frac{1}{2}\tan x.

Así que

Paso 3. Divide entre \sin x. Es positivo en 0 < x < \frac{\pi}{2}, así que nada se invierte:

Paso 4. Toma inversos. Las tres cantidades son positivas, y al tomar inversos de números positivos las desigualdades se invierten:

Paso 5. Trata el caso de x negativo. Tanto \cos x como \frac{\sin x}{x} son funciones pares (cambiar x por -x no altera nada), así que la misma desigualdad se cumple para -\frac{\pi}{2} < x < 0.

Paso 6. Aplica el sándwich. \lim_{x \to 0} \cos x = 1 y \lim_{x \to 0} 1 = 1, así que

Consejo: este límite es la razón por la que la derivada de \sin x es \cos x. La demostración en Derivadas de las funciones trigonométricas lo usa directamente. Por eso mismo aplicar la regla de L'Hôpital a \frac{\sin x}{x} es un razonamiento circular: L'Hôpital necesita antes esa derivada.

Ejemplo resuelto 4: el límite de (1 - cos x)/x

Calcula \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}.

Una vez que sabes que \frac{\sin x}{x} \to 1, no necesitas un nuevo sándwich. El álgebra transforma este límite en el que ya conoces.

Paso 1. Multiplica por el conjugado 1 + \cos x:

Paso 2. Usa 1 - \cos^2 x = \sin^2 x:

Paso 3. Calcula cada límite. El primer factor tiende a 1. El segundo es continuo en 0, así que sustituye: \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0.

Los mismos pasos sirven para un pariente cercano. Para \frac{1 - \cos x}{x^2} se obtiene \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Ejemplo resuelto 5: reescalar sin(kx)/x y tan x/x

Muchos problemas de examen disfrazan \frac{\sin x}{x}. La solución es conseguir que el denominador coincida con el argumento del seno.

Calcula \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}.

El argumento es 5x, así que queremos 5x en el denominador. Multiplica y divide por 5:

Cuando x \to 0, también u = 5x \to 0, así que \frac{\sin u}{u} \to 1. La respuesta es \frac{5}{3}.

Calcula \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.

Escribe la tangente como seno entre coseno:

La versión con valor absoluto

Del teorema del sándwich se deduce un atajo muy útil: si \lvert f(x) \rvert \le h(x) y h(x) \to 0, entonces f(x) \to 0. Esto se debe a que -h(x) \le f(x) \le h(x), y ambos lados tienden a 0.

Por ejemplo, \lvert x \sin(1/x) \rvert \le \lvert x \rvert y \lvert x \rvert \to 0, así que \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0. Esta versión solo funciona cuando el límite buscado es 0.

Errores frecuentes con el teorema del sándwich

1. Cotas que no coinciden. Escribir -1 \le \cos x \le 1 y quedarse ahí no demuestra nada sobre el límite. El suelo y el techo deben tender al mismo número.
2. Cambiar signos sin cuidado. Para x \sin(1/x), escribir -x \le x\sin(1/x) \le x es incorrecto cuando x < 0, porque multiplicar por un número negativo invierte las desigualdades. Usa en su lugar -\lvert x \rvert \le x\sin(1/x) \le \lvert x \rvert.
3. Separar el límite con la propiedad del producto. Escribir \lim x^2 \cdot \lim \sin(1/x) = 0 \cdot (\text{something}) no es válido, porque \lim_{x \to 0}\sin(1/x) no existe. Las propiedades de los límites exigen que cada parte tenga límite.
4. Confundir x \to 0 con x \to \infty. \frac{\sin x}{x} tiende a 1 en 0, pero a 0 en el infinito.
5. Argumento y denominador distintos. \frac{\sin(5x)}{x} no tiende a 1. Es 5 \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \to 5.
6. Trabajar en grados. El área de un sector es \frac{1}{2}x solo en radianes. En grados, \frac{\sin x}{x} tiende a \frac{\pi}{180}, no a 1.

Para ver más trampas como estas en todo Cálculo 1, consulta 12 errores frecuentes en cálculo.

Referencia rápida: límites trigonométricos clásicos

El teorema del sándwich es una de las cinco estrategias habituales para calcular límites. Para ver todas las herramientas, incluido cuándo recurrir primero a la sustitución, la factorización o el conjugado, lee Cómo calcular límites.

Practica hasta que las cotas te salgan solas

Lo difícil del teorema del sándwich no es el teorema. Es elegir las cotas y no equivocarse con el sentido de las desigualdades. Eso se vuelve automático tras una docena de problemas. Trabaja con la práctica interactiva de límites que tienes a continuación: cada pregunta te da una corrección inmediata, señala al instante una cota que no coincide o una desigualdad invertida, y muestra la solución completa para que veas exactamente dónde se produce el encaje.