Théorème des gendarmes : sin x/x, x² sin(1/x) et limites usuelles

Vous remplacez x = 0 dans \frac{\sin x}{x} et vous obtenez \frac{0}{0}. Vous essayez x^2 \sin(1/x) et la calculatrice affiche une courbe qui ondule sans jamais se stabiliser. Factoriser ne sert à rien, et les opérations sur les limites vous interdisent de séparer le produit, car \sin(1/x) n'a pas de limite. Le théorème des gendarmes est l'outil conçu précisément pour ce genre de limites.

Ce guide explique ce que dit le théorème des gendarmes, propose une méthode fiable en quatre étapes et traite les limites trigonométriques classiques que l'on retrouve dans tout cours d'analyse de première année, y compris la célèbre démonstration de \frac{\sin x}{x} \to 1.

Qu'est-ce que le théorème des gendarmes ?

En langage courant : si une fonction est coincée entre un plancher et un plafond, et que le plancher et le plafond se rejoignent à la même hauteur, la fonction du milieu est elle aussi forcée d'atteindre cette hauteur.

Voici l'énoncé précis. Supposons que pour tout x au voisinage de a (sauf éventuellement en x = a),

et que

Alors

Le même énoncé reste valable pour les limites à gauche et à droite, ainsi que pour les limites quand x \to \infty. On le rencontre aussi sous le nom de théorème d'encadrement ou théorème du sandwich. La fiche du théorème des gendarmes en donne l'énoncé sous forme condensée.

Deux détails sont importants :

1. L'inégalité doit seulement être vraie au voisinage de a, pas partout. Pour x \to 0, il suffit qu'elle soit vraie sur un petit intervalle comme 0 < \lvert x \rvert < 1.
2. Les deux bornes doivent avoir la même limite. Si le plancher tend vers -1 et le plafond vers 1, vous savez seulement que f reste entre les deux, pas vers quoi elle tend.

Si vous voulez revoir la notion de limite avant d'aller plus loin, consultez Qu'est-ce qu'une limite en analyse ?.

L'encadrement qui sert presque partout

Le sinus et le cosinus ne sortent jamais de l'intervalle [-1, 1], quelle que soit la valeur qu'on leur donne :

Tout repose sur cette idée. L'argument peut être 1/x, x^3 ou e^x, le résultat reste coincé. La plupart des exercices commencent par cette ligne, puis on multiplie ou on divise chacun de ses membres par une quantité qui tend vers 0 ou vers \infty. Vous pouvez observer cette onde bornée sur la page de la fonction sinus.

Utiliser le théorème des gendarmes en 4 étapes

1. Isoler le morceau borné. Repérez la partie qui oscille, en général un sinus ou un cosinus, et écrivez -1 \le \sin(\dots) \le 1.
2. Reconstruire le reste de la fonction. Multipliez (ou divisez) les trois membres par le facteur restant. Si ce facteur peut être négatif, utilisez des valeurs absolues pour que l'inégalité ne change pas de sens sans que vous le remarquiez.
3. Calculer la limite des deux bornes. Utilisez la substitution directe ou les opérations sur les limites.
4. Vérifier qu'elles coïncident. Si les deux bornes tendent vers L, concluez qu'il en va de même pour la fonction du milieu.

Exemple corrigé 1 : x² sin(1/x) quand x tend vers 0

Calculer \displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right).

Pourquoi les autres méthodes échouent. La substitution donne 0 \cdot \sin(1/0), qui n'a pas de sens. La règle du produit des limites exige que les deux limites existent, or \sin(1/x) oscille une infinité de fois entre -1 et 1 au voisinage de 0 et n'a pas de limite.

Étape 1. Encadrer le morceau oscillant. Pour tout x \ne 0,

Étape 2. Multiplier par x^2. Comme x^2 > 0 pour x \ne 0, la multiplication ne change pas le sens des inégalités :

Étape 3. Calculer les limites des bornes.

Étape 4. Conclure. Les deux bornes tendent vers 0, donc

Exemple corrigé 2 : sin x / x quand x tend vers l'infini

Calculer \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}.

Étape 1. On part de -1 \le \sin x \le 1.

Étape 2. Seules les grandes valeurs de x nous intéressent, on prend donc x > 0. Diviser par un nombre positif conserve le sens de l'inégalité :

Étape 3. Les deux bornes tendent vers 0 quand x \to \infty (voir les limites à l'infini si cette étape ne vous est pas familière).

Étape 4. Par conséquent

Remarquez le contraste avec l'exemple suivant. La même expression a pour limite 0 à l'infini, mais 1 en zéro. Vérifiez toujours vers quoi tend x.

Exemple corrigé 3 : pourquoi la limite de sin x / x quand x tend vers 0 vaut 1

C'est la limite trigonométrique la plus importante de la première année :

La substitution donne \frac{0}{0}, et l'encadrement simple -1 \le \sin x \le 1 ne suffit pas ici (en divisant par x, on obtient les bornes \pm\frac{1}{x}, qui explosent). Il nous faut des bornes plus fines, et elles viennent de la géométrie.

Étape 1. Mettre en place le cercle trigonométrique. Prenons 0 < x < \frac{\pi}{2}, en radians. Soit O l'origine, A = (1, 0), P = (\cos x, \sin x) sur le cercle, et T = (1, \tan x) le point où la droite passant par O et P coupe la droite verticale x = 1.

Étape 2. Comparer trois aires. Le petit triangle OAP est contenu dans le secteur angulaire OAP, lui-même contenu dans le grand triangle OAT :

• Triangle OAP : base 1, hauteur \sin x, aire \frac{1}{2}\sin x.
• Secteur d'angle x dans un cercle de rayon 1 : aire \frac{1}{2}x.
• Triangle OAT : base 1, hauteur \tan x, aire \frac{1}{2}\tan x.

Donc

Étape 3. Diviser par \sin x. Il est positif sur 0 < x < \frac{\pi}{2}, donc rien ne change de sens :

Étape 4. Passer à l'inverse. Les trois quantités sont positives, et passer à l'inverse de nombres positifs renverse les inégalités :

Étape 5. Traiter le cas x négatif. \cos x et \frac{\sin x}{x} sont des fonctions paires (remplacer x par -x ne change rien), donc la même inégalité est vraie pour -\frac{\pi}{2} < x < 0.

Étape 6. Appliquer le théorème des gendarmes. \lim_{x \to 0} \cos x = 1 et \lim_{x \to 0} 1 = 1, donc

Astuce : c'est grâce à cette limite que la dérivée de \sin x est \cos x. La démonstration présentée dans Dérivées des fonctions trigonométriques l'utilise directement. C'est aussi pour cela qu'appliquer la règle de L'Hôpital à \frac{\sin x}{x} est un raisonnement circulaire : L'Hôpital a d'abord besoin de cette dérivée.

Exemple corrigé 4 : la limite de (1 - cos x)/x

Calculer \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}.

Une fois que l'on sait que \frac{\sin x}{x} \to 1, inutile de chercher un nouvel encadrement. Un peu d'algèbre ramène cette limite à celle que l'on connaît déjà.

Étape 1. Multiplier par la quantité conjuguée 1 + \cos x :

Étape 2. Utiliser 1 - \cos^2 x = \sin^2 x :

Étape 3. Calculer chaque limite. Le premier facteur tend vers 1. Le second est continu en 0, on peut donc substituer : \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0.

Les mêmes étapes donnent une limite très proche. Pour \frac{1 - \cos x}{x^2}, on obtient \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Exemple corrigé 5 : ajuster sin(kx)/x et tan x/x

De nombreux sujets d'examen déguisent \frac{\sin x}{x}. L'astuce consiste à faire apparaître au dénominateur ce qui se trouve à l'intérieur du sinus.

Calculer \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}.

L'argument du sinus est 5x, on veut donc 5x au dénominateur. On multiplie et on divise par 5 :

Quand x \to 0, on a aussi u = 5x \to 0, donc \frac{\sin u}{u} \to 1. La réponse est \frac{5}{3}.

Calculer \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.

On écrit la tangente comme le quotient du sinus par le cosinus :

La version avec valeur absolue

Le théorème des gendarmes fournit un raccourci bien pratique : si \lvert f(x) \rvert \le h(x) et h(x) \to 0, alors f(x) \to 0. En effet, -h(x) \le f(x) \le h(x), et les deux membres extrêmes tendent vers 0.

Par exemple, \lvert x \sin(1/x) \rvert \le \lvert x \rvert et \lvert x \rvert \to 0, donc \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0. Cette version ne fonctionne que si la limite visée est 0.

Erreurs fréquentes avec le théorème des gendarmes

1. Des bornes qui ne coïncident pas. Écrire -1 \le \cos x \le 1 et s'arrêter là ne prouve rien sur la limite. Le plancher et le plafond doivent tendre vers le même nombre.
2. Changer de sens sans faire attention. Pour x \sin(1/x), écrire -x \le x\sin(1/x) \le x est faux quand x < 0, car multiplier par un nombre négatif renverse les inégalités. Utilisez plutôt -\lvert x \rvert \le x\sin(1/x) \le \lvert x \rvert.
3. Séparer la limite avec la règle du produit. Écrire \lim x^2 \cdot \lim \sin(1/x) = 0 \cdot (\text{something}) n'est pas valable, car \lim_{x \to 0}\sin(1/x) n'existe pas. Les opérations sur les limites exigent que chaque morceau ait une limite.
4. Confondre x \to 0 et x \to \infty. \frac{\sin x}{x} tend vers 1 en 0, mais vers 0 à l'infini.
5. Argument et dénominateur différents. \frac{\sin(5x)}{x} ne tend pas vers 1. On a 5 \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \to 5.
6. Travailler en degrés. L'aire d'un secteur vaut \frac{1}{2}x uniquement en radians. En degrés, \frac{\sin x}{x} tend vers \frac{\pi}{180}, et non vers 1.

Pour d'autres pièges de ce genre sur l'ensemble du programme de première année, consultez 12 erreurs fréquentes en analyse.

Aide-mémoire : limites trigonométriques classiques

Le théorème des gendarmes est l'une des cinq stratégies classiques pour calculer une limite. Pour la boîte à outils complète, et pour savoir quand essayer d'abord la substitution, la factorisation ou la quantité conjuguée, lisez Comment calculer une limite.

S'entraîner jusqu'à trouver les encadrements naturellement

La difficulté du théorème des gendarmes n'est pas le théorème lui-même. C'est de choisir les bornes et de ne pas se tromper dans le sens des inégalités. Cela devient automatique après une douzaine d'exercices. Faites les exercices interactifs sur les limites ci-dessous : chaque question vous donne un retour immédiat, signale tout de suite une borne qui ne convient pas ou une inégalité renversée, et affiche la solution complète pour que vous voyiez exactement où l'encadrement opère.