Théorème des accroissements finis : énoncé, Rolle et calcul de c

Votre professeur écrit « vérifier que le théorème des accroissements finis s'applique et trouver toutes les valeurs de c », et le théorème ressemble à un énoncé d'existence abstrait sans utilité évidente. En réalité, le théorème des accroissements finis affirme quelque chose que vous croyez déjà à propos de la conduite automobile, et trouver c prend environ quatre lignes de calcul une fois la méthode comprise.

Ce que dit le théorème des accroissements finis

Le théorème des accroissements finis (TAF) dit que, sur tout morceau régulier d'une fonction, le taux de variation instantané est égal au taux de variation moyen au moins une fois.

Formellement : si f est continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), alors il existe au moins un nombre c avec a < c < b tel que

Le membre de droite est la pente de la sécante passant par (a, f(a)) et (b, f(b)), c'est-à-dire le taux de variation moyen. Le membre de gauche est la pente de la tangente en c, c'est-à-dire le taux de variation instantané. Le théorème dit donc : quelque part entre a et b, la tangente est parallèle à la sécante.

Une version concrète : vous parcourez 120 km en exactement 2 heures. Votre vitesse moyenne est de 60 km/h. Vous n'avez pas pu rouler en dessous de 60 tout le temps (vous ne seriez pas arrivé), ni au-dessus de 60 tout le temps (vous seriez allé plus loin). À un certain instant, votre vitesse était donc exactement de 60 km/h.

Le théorème des accroissements finis sur un graphique

Faites glisser la sécante sur le côté sans la faire tourner. Juste avant de quitter complètement la courbe, elle la touche en un seul point. Ce point de contact, c'est c.

Comment trouver c dans le théorème des accroissements finis

1. Vérifiez les hypothèses. f est-elle continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b) ? Les polynômes, \sin, \cos et e^x le sont toujours. Méfiez-vous des dénominateurs qui s'annulent, des racines de nombres négatifs et des valeurs absolues.
2. Calculez la pente moyenne \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
3. Posez f'(c) égale à cette pente et résolvez en c.
4. Ne gardez que les solutions avec a < c < b. Éliminez tout ce qui est à l'extérieur ou aux extrémités.

Exemple corrigé 1 : une parabole

Trouvez c pour f(x) = x^2 sur [1, 3].

Étape 1. f est un polynôme, donc les hypothèses sont vérifiées.

Étape 2. f(1) = 1 et f(3) = 9, donc la pente moyenne vaut

Étape 3. f'(x) = 2x, donc 2c = 4 et c = 2.

Étape 4. 2 appartient à (1, 3). Donc c = 2.

Pour toute parabole, c est toujours le milieu de l'intervalle. C'est une bonne vérification.

Exemple corrigé 2 : une fonction cubique (le graphique ci-dessus)

Trouvez toutes les valeurs de c pour f(x) = x^3 - x sur [0, 2].

Étape 1. C'est un polynôme, donc les hypothèses sont vérifiées.

Étape 2. f(0) = 0 et f(2) = 8 - 2 = 6, donc la pente moyenne vaut \frac{6 - 0}{2 - 0} = 3.

Étape 3. f'(x) = 3x^2 - 1. On la pose égale à 3 :

Étape 4. -\frac{2}{\sqrt{3}} est hors de (0, 2), on l'élimine. La réponse est c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155.

Exemple corrigé 3 : une racine carrée

Trouvez c pour f(x) = \sqrt{x} sur [0, 4].

Étape 1. \sqrt{x} est continue sur [0, 4]. Elle n'est pas dérivable en 0 (la tangente y est verticale), mais le théorème n'exige la dérivabilité que sur l'intervalle ouvert (0, 4), et c'est bien le cas.

Étape 2. Pente moyenne : \frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Étape 3. f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, donc

Étape 4. 1 appartient à (0, 4). Donc c = 1.

Le théorème de Rolle : le cas particulier

Le théorème de Rolle est le théorème des accroissements finis quand les extrémités sont à la même hauteur. Si f est continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et si f(a) = f(b), alors il existe un c dans (a, b) tel que

La sécante est horizontale, donc la tangente parallèle l'est aussi. Imaginez une balle lancée verticalement et rattrapée à la même hauteur : au sommet, sa vitesse est nulle.

Exemple corrigé 4 : le théorème de Rolle

Vérifiez le théorème de Rolle pour f(x) = x^2 - 4x + 3 sur [1, 3] et trouvez c.

Étape 1. C'est un polynôme, donc continu et dérivable partout.

Étape 2. On vérifie les extrémités : f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 et f(3) = 9 - 12 + 3 = 0. Elles sont égales.

Étape 3. f'(x) = 2x - 4 = 0 donne c = 2, qui appartient à (1, 3).

Un autre classique : f(x) = \sin x sur [0, \pi] vérifie f(0) = f(\pi) = 0, et f'(c) = \cos c = 0 en c = \frac{\pi}{2}, le sommet de l'arche.

Quand le théorème des accroissements finis ne s'applique pas

Les deux hypothèses comptent. Voici deux fonctions pour lesquelles la conclusion est fausse parce qu'une hypothèse n'est pas vérifiée.

Un point anguleux. f(x) = |x| sur [-1, 1]. Les deux extrémités valent 1, donc la pente moyenne est 0. Mais f'(x) vaut -1 ou 1 partout sauf en x = 0, où elle n'existe pas. Aucun c ne convient, car |x| n'est pas dérivable en 0.

Une coupure. f(x) = \frac{1}{x} sur [-1, 1]. La pente moyenne vaut \frac{1 - (-1)}{2} = 1, mais f'(x) = -\frac{1}{x^2} est toujours négative. Aucun c ne convient, car f n'est même pas définie (et encore moins continue) en 0.

Astuce : quand on vous demande si le TAF s'applique, nommez le point précis et l'hypothèse précise qui n'est pas vérifiée. « Non dérivable en x = 0 » rapporte les points ; « ça ne marche pas », non.

Pourquoi le théorème des accroissements finis compte

Le TAF fait le pont entre la dérivée et la variation réelle, et il démontre des résultats que vous utilisez sans cesse :

• Dérivée nulle implique constante. Si f'(x) = 0 sur un intervalle, alors f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) = 0 pour tous a, b, donc f ne varie jamais. C'est pourquoi deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante C.
• Dérivée positive implique croissante. Si f' > 0, alors f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0 dès que b > a. C'est la base de l'étude de fonction.
• Majorations. Supposons f(0) = 2 et f'(x) \le 5 pour tout x. Quelle valeur maximale peut prendre f(3) ? D'après le TAF, f(3) - f(0) = 3f'(c) \le 15, donc f(3) \le 17.

Mémo

Erreurs fréquentes avec le théorème des accroissements finis

1. Sauter la vérification des hypothèses. Beaucoup d'exercices sont conçus pour que le théorème ne s'applique pas. Cherchez toujours d'abord les points anguleux, les asymptotes et les problèmes de domaine de définition.
2. Garder les mauvaises solutions. Dans l'exemple 2, c = -\frac{2}{\sqrt{3}} est solution de l'équation mais n'appartient pas à (0, 2). L'intervalle fait partie de la réponse.
3. Confondre f et f'. C'est la dérivée en c que l'on pose égale à la pente moyenne, pas f(c).
4. Croire que le théorème dit où se trouve c. Il garantit seulement son existence. On trouve c en résolvant.
5. Exiger la dérivabilité aux extrémités. Seul l'intervalle ouvert compte, c'est pourquoi \sqrt{x} sur [0, 4] convient.

Entraînez-vous à trouver c

Le TAF devient vite une routine : vérifier, calculer la pente, résoudre, filtrer. La leçon interactive ci-dessous vous propose des fonctions à tester, repère les solutions qui tombent hors de l'intervalle et explique la correction dès qu'une étape se passe mal. Après quelques séries, vous repérerez d'un coup d'œil une hypothèse non vérifiée.