Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Teil 1 und 2

Die Fläche unter y = x^2 mit Riemann-Summen zu berechnen, kostet eine Seite Algebra und einen Grenzwert. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung schafft es in einer Zeile: \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}. Er ist der Grund, warum Integrale überhaupt praktisch nutzbar sind, und er verbindet die beiden Hälften der Analysis zu einem Fach.

Was der Hauptsatz besagt

In einfachen Worten: Ableiten und Integrieren sind Umkehroperationen. Der Satz besteht aus zwei Teilen, einem für jede Richtung.

Teil 1 (Ableitung eines Integrals). Ist f auf [a, b] stetig, dann ist die Flächenfunktion g(x) = \int_a^x f(t)\,dt differenzierbar, und es gilt

Teil 2 (Integrale berechnen). Ist f auf [a, b] stetig und F irgendeine Stammfunktion von f (also F' = f), dann gilt

Kurz schreiben wir F(b) - F(a) als \Big[F(x)\Big]_a^b.

Die meisten Lehrbücher nummerieren die Teile so, einige vertauschen aber die Bezeichnungen. Wichtig ist, zu erkennen, welche Aufgabe du gerade erledigst: eine Zahl berechnen oder ein Integral ableiten.

Warum er gilt: Die Fläche wächst mit einer Rate, die der Höhe entspricht

Stell dir die Fläche unter y = f(t) von a bis x vor und schiebe x ein winziges Stück h nach rechts. Die zusätzliche Fläche ist ein schmaler Streifen der Breite h und ungefähr der Höhe f(x), also gilt

Für h \to 0 wird daraus g'(x) = f(x): Die Rate, mit der die Fläche wächst, ist die Höhe der Kurve. Das ist Teil 1. Teil 2 folgt daraus: g ist eine Stammfunktion von f, jede andere Stammfunktion F unterscheidet sich davon um eine Konstante, und \int_a^b f = g(b) - g(a) = F(b) - F(a).

So berechnest du ein bestimmtes Integral (Teil 2)

1. Bestimme eine Stammfunktion F(x). Lass das +C weg, es hebt sich weg.
2. Berechne F(b), den Wert an der oberen Grenze.
3. Berechne F(a), den Wert an der unteren Grenze.
4. Subtrahiere: F(b) - F(a).

Rechenbeispiel 1: ein Polynom

Berechne \int_0^2 x^2\,dx.

Schritt 1. Eine Stammfunktion von x^2 ist \frac{x^3}{3}.

Schritt 2. F(2) = \frac{8}{3}.

Schritt 3. F(0) = 0.

Schritt 4.

Das ist genau der Grenzwert der Riemann-Summen, den man sonst mühsam berechnet, ganz ohne Summenzeichen.

Rechenbeispiel 2: Wurzeln und Konstanten

Berechne \int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx.

Schritt 1. Schreib 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}. Die Stammfunktion ist 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}, und die Stammfunktion von -2 ist -2x. Also ist F(x) = 2x^{3/2} - 2x.

Schritt 2. F(4) = 2(4)^{3/2} - 2(4) = 2(8) - 8 = 8.

Schritt 3. F(1) = 2(1) - 2(1) = 0.

Schritt 4.

Rechenbeispiel 3: die Fläche unter einem Sinusbogen

Berechne \int_0^{\pi} \sin x\,dx.

Schritt 1. Eine Stammfunktion von \sin x ist -\cos x.

Schritte 2 bis 4.

An den beiden Minuszeichen passieren die meisten Fehler. Schreib die Klammern jedes Mal vollständig aus, so wie oben.

Rechenbeispiel 4: ein Logarithmus

Berechne \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

Rechenbeispiel 5: Exponentialfunktionen und ein Wert, der nicht verschwindet

Berechne \int_0^1 (e^x + 2x)\,dx.

Schritt 1. Eine Stammfunktion ist F(x) = e^x + x^2.

Schritt 2. F(1) = e + 1.

Schritt 3. F(0) = e^0 + 0 = 1. Pass hier auf: e^0 ist 1, nicht 0, der Wert an der unteren Grenze verschwindet also nicht.

Schritt 4.

Orientierte Fläche: wenn das Integral negativ ist

Ein bestimmtes Integral zählt Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb negativ. Zum Beispiel ist

Der Bogen über der Achse (Fläche 2) hebt den Bogen unter der Achse (Fläche 2) auf. Fragt eine Aufgabe nach der Gesamtfläche statt nach dem Integral, teilst du an den Nullstellen auf und addierst die Beträge: 2 + 2 = 4.

Rechenbeispiel 6: Verschiebung und zurückgelegte Strecke

Dieselbe Idee taucht bei Bewegungsaufgaben auf, wo Teil 2 oft als Satz über die Gesamtänderung bezeichnet wird: Das Integral einer Rate liefert die gesamte Änderung. Ein Teilchen bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) = 3t^2 - 6t m/s. Bestimme seine Verschiebung und die gesamte zurückgelegte Strecke von t = 0 bis t = 3.

Schritt 1. Verschiebung. Eine Stammfunktion von v ist t^3 - 3t^2, also

Das Teilchen endet dort, wo es gestartet ist.

Schritt 2. Bestimmen, wo es umkehrt. v(t) = 3t(t - 2) ist auf (0, 2) negativ und auf (2, 3) positiv.

Schritt 3. Strecke. Integriere |v|, indem du bei t = 2 aufteilst:

Es bewegt sich 4 m rückwärts und dann 4 m vorwärts, die Gesamtstrecke beträgt also 8 m, obwohl die Verschiebung 0 ist.

Ableitungen von Integralen (Teil 1)

Mit Teil 1 kannst du ein Integral ableiten, ohne es zu berechnen. Das ist wichtig, wenn der Integrand keine einfache Stammfunktion hat.

Rechenbeispiel 7: x in der oberen Grenze

Bestimme \frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt.

Es gibt keine schöne Stammfunktion von \sqrt{t^3 + 1}, und du brauchst auch keine. Nach Teil 1 ersetzt du t durch x:

Die untere Grenze 1 spielt keine Rolle. Ändert man sie, verschiebt sich die Flächenfunktion nur um eine Konstante.

Rechenbeispiel 8: eine Funktion in der oberen Grenze

Bestimme \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Hier ist die obere Grenze u = x^2, also ergänzt die Kettenregel einen Faktor u' = 2x:

Probe durch vorheriges Berechnen: \int_0^{x^2}\cos t\,dt = \sin(x^2) - \sin 0 = \sin(x^2), und \frac{d}{dx}\sin(x^2) = 2x\cos(x^2). Es stimmt überein.

Die allgemeine Regel lautet

Rechenbeispiel 9: x in der unteren Grenze

Bestimme \frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt.

Schritt 1. Die Grenzen vertauschen. Das Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen: \int_x^3 e^{t^2}\,dt = -\int_3^x e^{t^2}\,dt.

Schritt 2. Teil 1 anwenden.

Hängen beide Grenzen von x ab, teilst du das Integral an einer Konstanten auf: \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x).

Kurzübersicht

Typische Fehler beim Hauptsatz

1. In der falschen Reihenfolge subtrahieren. Es heißt F(\text{oben}) - F(\text{unten}). Umgekehrt dreht sich das Vorzeichen deiner Antwort um.
2. Bei negativen Werten Klammern weglassen. In Beispiel 3 braucht (-\cos\pi) - (-\cos 0) jede Klammer. Wer -\cos\pi - \cos 0 schreibt, erhält 0 statt 2.
3. Den Faktor der Kettenregel vergessen. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt ist 2x\cos(x^2), nicht \cos(x^2).
4. Integrieren, obwohl Teil 1 greift. Fragt die Aufgabe nach der Ableitung eines Integrals, musst du fast nie eine Stammfunktion bestimmen.
5. Integral und Gesamtfläche verwechseln. Taucht die Kurve unter die Achse, ist \int_a^b f nicht die Fläche. Teile an den Nullstellen auf.
6. Den Satz über eine Unstetigkeitsstelle hinweg anwenden. \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx ist nicht \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2. Der Integrand wächst bei 0 über alle Grenzen, also gilt der Satz nicht. Das ist ein uneigentliches Integral.

Bestimmte Integrale berechnen üben

Sobald der Satz sitzt, wird jedes bestimmte Integral zu einer Stammfunktion plus sorgfältiger Rechnung. Die meisten Fehler sind Vorzeichenfehler, deshalb ist Wiederholung mit Rückmeldung der schnellste Weg zu verlässlichen Ergebnissen. Die interaktive Lektion unten prüft jede Antwort sofort und zeigt die vollständige Klammerrechnung, sobald ein Vorzeichen danebengeht. Für schwierigere Integranden ist der nächste Schritt die Substitutionsregel.