Critères de convergence des séries : lequel utiliser et quand

Vous avez sous les yeux \sum \frac{3^n}{n!} et vous savez qu'il existe huit critères de convergence différents, mais lequel choisir ? La plupart des exercices sur les séries ne sont pas difficiles une fois le bon critère choisi. Le plus dur, c'est justement de choisir. Ce guide présente chaque critère de convergence classique avec un exemple corrigé, puis vous donne un tableau de décision pour choisir rapidement.

Que signifie la convergence d'une série ?

Une série \sum a_n converge si ses sommes partielles S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N tendent vers un nombre fini quand N \to \infty. Sinon, elle diverge.

La plupart du temps, on ne peut pas calculer la somme exactement (les séries géométriques sont la grande exception). Les critères de convergence répondent à une question plus simple : la somme existe-t-elle ? Chaque critère ci-dessous rend un verdict converge, diverge ou ne permet pas de conclure.

1. Le critère du terme général (divergence grossière)

Exemple. \sum \frac{n}{2n+1}. Les termes tendent vers \frac12, pas vers 0. Additionner une infinité de nombres proches de \frac12 ne peut pas donner un total fini, donc la série diverge.

Astuce : ce critère ne peut jamais prouver la convergence. Si a_n \to 0, le critère ne dit rien et il faut en essayer un autre.

2. Les séries géométriques

Exemple. \sum \frac{5}{4^n} a pour raison r = \frac14, donc elle converge.

3. Le critère des séries de Riemann

Exemples. \sum \frac{1}{n^{3/2}} converge (p = 1.5). \sum \frac{1}{\sqrt n} diverge (p = 0.5). La série harmonique \sum \frac1n (p = 1) diverge, alors même que ses termes tendent vers 0.

La série harmonique diverge extrêmement lentement. Ses sommes partielles croissent comme \ln N : il faut plus de 12 000 termes rien que pour dépasser 10. Le graphique montre les sommes partielles coincées entre deux courbes logarithmiques, qui tendent toutes les deux vers l'infini.

4. Le critère de l'intégrale (comparaison série-intégrale)

Si f est positive, continue et décroissante pour x \ge N, et si a_n = f(n), alors

Exemple. La série \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n} converge-t-elle ?

Étape 1. Vérifier les conditions. f(x) = \frac{1}{x\ln x} est positive, continue et décroissante pour x \ge 2.

Étape 2. Calculer l'intégrale impropre. Avec u = \ln x, du = \frac1x\,dx :

Étape 3. Conclure. L'intégrale diverge, donc la série diverge.

C'est aussi du critère de l'intégrale que vient la règle des séries de Riemann : \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} converge exactement quand p > 1.

5. Le critère de comparaison directe

Supposons que 0 \le a_n \le b_n pour tout n assez grand.

• Si \sum b_n converge, alors la plus petite, \sum a_n, converge.
• Si \sum a_n diverge, alors la plus grande, \sum b_n, diverge.

Exemple (convergence). \sum \frac{1}{n^2 + 5}. Comme n^2 + 5 > n^2, on a \frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}. La série de Riemann \sum \frac{1}{n^2} converge, donc cette série converge.

Exemple (divergence). \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}. Pour n \ge 3, \ln n > 1, donc \frac{\ln n}{n} > \frac1n. La série harmonique diverge, donc cette série diverge.

6. Le critère de comparaison par passage à la limite (équivalents)

La comparaison directe exige une inégalité dans le bon sens, ce qui peut être pénible. La comparaison par passage à la limite demande seulement que les termes se comportent de la même façon. Si a_n, b_n > 0 et

alors \sum a_n et \sum b_n convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux.

Exemple. La série \sum \frac{2n+3}{n^3+1} converge-t-elle ?

Étape 1. Choisir b_n à partir des termes dominants. Pour n grand, \frac{2n+3}{n^3+1} se comporte comme \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}. Prenez b_n = \frac1{n^2}.

Étape 2. Calculer la limite.

Étape 3. Conclure. L = 2 est strictement positif et fini, et \sum\frac1{n^2} converge, donc la série de départ converge.

7. Le critère de d'Alembert

Posons

Si L < 1, la série converge (absolument). Si L > 1, elle diverge. Si L = 1, le critère ne permet pas de conclure.

Exemple. La série \sum \frac{3^n}{n!} converge-t-elle ?

Étape 1. Former le rapport.

Étape 2. Passer à la limite. \frac{3}{n+1} \to 0.

Étape 3. Conclure. L = 0 < 1, donc la série converge.

Le critère de d'Alembert brille avec les factorielles et les exponentielles, car presque toute l'expression se simplifie. Il est inutile pour les séries de Riemann et les fractions rationnelles en n : \sum\frac1n et \sum\frac1{n^2} donnent toutes les deux L = 1.

8. Le critère de Cauchy (règle de la racine)

Posons

Les verdicts sont les mêmes que pour le critère de d'Alembert : L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne permet pas de conclure.

Exemple. La série \sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n converge-t-elle ?

Comme L = \frac12 < 1, la série converge. Utilisez le critère de Cauchy dès que le terme entier est élevé à la puissance n.

9. Le critère des séries alternées

Une série alternée est de la forme \sum (-1)^{n+1} b_n avec b_n > 0. Elle converge si

1. b_{n+1} \le b_n pour tout n assez grand (les valeurs absolues finissent par décroître), et
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Exemple. La série harmonique alternée 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots a b_n = \frac1n, qui décroît vers 0. Elle converge donc (en fait vers \ln 2).

Majoration du reste. Pour une série qui vérifie ce critère, s'arrêter après N termes donne une erreur au plus égale au terme suivant : |S - S_N| \le b_{N+1}. Par exemple, les 99 premiers termes de la série harmonique alternée donnent \ln 2 à moins de \frac{1}{100} près.

Convergence absolue et semi-convergence

Si \sum |a_n| converge, alors \sum a_n converge aussi. On parle de convergence absolue. La série harmonique alternée converge, mais \sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n diverge, donc elle n'est que semi-convergente. À l'inverse, \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} converge absolument, car \sum\frac{1}{n^2} converge.

Quel critère de convergence utiliser ?

Parcourez ce tableau depuis le haut. La première ligne qui correspond est en général le chemin le plus rapide.

Astuce : pour trouver la bonne série de Riemann de comparaison, ne gardez que la plus haute puissance de n au numérateur et au dénominateur. \frac{2n+3}{n^3+1} se comporte comme \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}.

Les erreurs fréquentes avec les critères de convergence

1. Utiliser le critère du terme général pour prouver la convergence. a_n \to 0 ne prouve rien. La série harmonique est le contre-exemple classique.
2. Prendre L = 1 pour un verdict. Pour les critères de d'Alembert et de Cauchy, L = 1 veut dire qu'il faut changer de critère.
3. Comparer dans le mauvais sens. Être plus petite qu'une série divergente, ou plus grande qu'une série convergente, ne dit rien.
4. Oublier les conditions du critère de l'intégrale. La fonction doit être positive et décroissante (au moins à partir d'un certain rang).
5. Confondre la série et la suite. « Les termes tendent vers 0 » et « la série converge » sont deux affirmations différentes.
6. Ignorer les valeurs absolues. Les critères de d'Alembert et de Cauchy utilisent |a_n|, et une série alternée peut converger sans converger absolument.

Entraînez-vous à choisir le bon critère

Reconnaître le critère adapté est une compétence de reconnaissance de motifs, et elle ne devient rapide qu'avec la répétition. Après quelques dizaines de séries, vous verrez \frac{3^n}{n!} et penserez « critère de d'Alembert » avant même d'avoir fini de lire. La leçon interactive ci-dessous mélange des séries de tous les types et vous donne un retour immédiat sur votre choix de critère comme sur votre conclusion.