Konvergenzkriterien für Reihen: Welches Kriterium wann?

Du starrst auf \sum \frac{3^n}{n!} und weißt, dass es acht verschiedene Konvergenzkriterien gibt, aber welches nimmst du? Die meisten Aufgaben zu Reihen sind nicht schwer, sobald du das richtige Kriterium gewählt hast. Schwer ist die Wahl. Dieser Leitfaden behandelt jedes Standard-Konvergenzkriterium mit einem Rechenbeispiel und gibt dir dann eine Entscheidungstabelle, mit der du schnell wählst.

Was bedeutet es, dass eine Reihe konvergiert?

Eine Reihe \sum a_n konvergiert, wenn ihre Partialsummen S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N für N \to \infty gegen eine endliche Zahl gehen. Andernfalls divergiert sie.

Meistens kannst du den Wert der Summe nicht exakt berechnen (geometrische Reihen sind die große Ausnahme). Konvergenzkriterien beantworten eine einfachere Frage: Existiert die Summe überhaupt? Jedes Kriterium unten liefert das Urteil konvergent, divergent oder keine Aussage.

1. Das Nullfolgenkriterium (Divergenztest)

Beispiel. \sum \frac{n}{2n+1}. Die Glieder gehen gegen \frac12, nicht gegen 0. Unendlich viele Zahlen nahe \frac12 zu addieren kann keine endliche Summe ergeben, also divergiert die Reihe.

Tipp: Dieses Kriterium kann niemals Konvergenz beweisen. Gilt a_n \to 0, sagt es nichts aus, und du musst ein anderes versuchen.

2. Geometrische Reihen

Beispiel. \sum \frac{5}{4^n} hat r = \frac14, konvergiert also.

3. Das Kriterium für p-Reihen

Beispiele. \sum \frac{1}{n^{3/2}} konvergiert (p = 1.5). \sum \frac{1}{\sqrt n} divergiert (p = 0.5). Die harmonische Reihe \sum \frac1n (p = 1) divergiert, obwohl ihre Glieder gegen 0 schrumpfen.

Die harmonische Reihe divergiert extrem langsam. Ihre Partialsummen wachsen wie \ln N: Du brauchst mehr als 12.000 Glieder, nur um 10 zu überschreiten. Der Graph zeigt die Partialsummen eingeklemmt zwischen zwei Logarithmuskurven, die beide gegen unendlich gehen.

4. Das Integralkriterium

Ist f für x \ge N positiv, stetig und monoton fallend und gilt a_n = f(n), dann gilt

Beispiel. Konvergiert \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}?

Schritt 1. Die Voraussetzungen prüfen. f(x) = \frac{1}{x\ln x} ist für x \ge 2 positiv, stetig und monoton fallend.

Schritt 2. Das uneigentliche Integral berechnen. Mit u = \ln x, du = \frac1x\,dx:

Schritt 3. Folgern. Das Integral divergiert, also divergiert die Reihe.

Aus dem Integralkriterium stammt auch die Regel für p-Reihen: \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} konvergiert genau dann, wenn p > 1 ist.

5. Das direkte Vergleichskriterium (Majoranten- und Minorantenkriterium)

Angenommen, 0 \le a_n \le b_n gilt für alle großen n.

• Konvergiert \sum b_n, dann konvergiert auch die kleinere Reihe \sum a_n (Majorantenkriterium).
• Divergiert \sum a_n, dann divergiert auch die größere Reihe \sum b_n (Minorantenkriterium).

Beispiel (Konvergenz). \sum \frac{1}{n^2 + 5}. Da n^2 + 5 > n^2 ist, gilt \frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}. Die p-Reihe \sum \frac{1}{n^2} konvergiert, also konvergiert auch diese Reihe.

Beispiel (Divergenz). \sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}. Für n \ge 3 ist \ln n > 1, also \frac{\ln n}{n} > \frac1n. Die harmonische Reihe divergiert, also divergiert auch diese Reihe.

6. Das Grenzwertkriterium (Limesvergleich)

Der direkte Vergleich braucht eine Ungleichung in der richtigen Richtung, was umständlich sein kann. Das Grenzwertkriterium verlangt nur, dass sich die Glieder ähnlich verhalten. Gilt a_n, b_n > 0 und

dann konvergieren \sum a_n und \sum b_n entweder beide oder divergieren beide.

Beispiel. Konvergiert \sum \frac{2n+3}{n^3+1}?

Schritt 1. b_n aus den dominierenden Termen wählen. Für große n verhält sich \frac{2n+3}{n^3+1} wie \frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}. Nimm b_n = \frac1{n^2}.

Schritt 2. Den Grenzwert berechnen.

Schritt 3. Folgern. L = 2 ist positiv und endlich, und \sum\frac1{n^2} konvergiert, also konvergiert die ursprüngliche Reihe.

7. Das Quotientenkriterium

Sei

Für L < 1 konvergiert die Reihe (absolut). Für L > 1 divergiert sie. Für L = 1 ist das Kriterium nicht aussagekräftig.

Beispiel. Konvergiert \sum \frac{3^n}{n!}?

Schritt 1. Den Quotienten bilden.

Schritt 2. Den Grenzwert bilden. \frac{3}{n+1} \to 0.

Schritt 3. Folgern. L = 0 < 1, also konvergiert die Reihe.

Das Quotientenkriterium glänzt bei Fakultäten und Exponentialtermen, weil sich der Großteil des Ausdrucks wegkürzt. Für p-Reihen und gebrochenrationale Ausdrücke in n ist es nutzlos: Sowohl \sum\frac1n als auch \sum\frac1{n^2} liefern L = 1.

8. Das Wurzelkriterium

Sei

Die Urteile sind dieselben wie beim Quotientenkriterium: L < 1 konvergent, L > 1 divergent, L = 1 keine Aussage.

Beispiel. Konvergiert \sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n?

Da L = \frac12 < 1 ist, konvergiert die Reihe. Nimm das Wurzelkriterium immer dann, wenn das ganze Glied hoch n genommen wird.

9. Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen

Eine alternierende Reihe hat die Form \sum (-1)^{n+1} b_n mit b_n > 0. Sie konvergiert, wenn

1. b_{n+1} \le b_n für alle großen n gilt (die Beträge werden schließlich kleiner) und
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0 gilt.

Beispiel. Die alternierende harmonische Reihe 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots hat b_n = \frac1n, das monoton gegen 0 fällt. Also konvergiert sie (tatsächlich gegen \ln 2).

Fehlerschranke. Bei einer Reihe, die dieses Kriterium erfüllt, ist der Fehler nach N Gliedern höchstens so groß wie das nächste Glied: |S - S_N| \le b_{N+1}. Zum Beispiel liegen die ersten 99 Glieder der alternierenden harmonischen Reihe weniger als \frac{1}{100} von \ln 2 entfernt.

Absolute und bedingte Konvergenz

Konvergiert \sum |a_n|, dann konvergiert auch \sum a_n. Das nennen wir absolute Konvergenz. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, aber \sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n divergiert, sie konvergiert also nur bedingt. Dagegen konvergiert \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} absolut, weil \sum\frac{1}{n^2} konvergiert.

Welches Konvergenzkriterium solltest du verwenden?

Geh diese Tabelle von oben durch. Die erste passende Zeile ist meist der schnellste Weg.

Tipp: Um die passende p-Reihe für einen Vergleich zu finden, behältst du im Zähler und im Nenner nur die höchste Potenz von n. \frac{2n+3}{n^3+1} verhält sich wie \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}.

Typische Fehler bei Konvergenzkriterien

1. Mit dem Nullfolgenkriterium Konvergenz beweisen wollen. a_n \to 0 beweist nichts. Die harmonische Reihe ist das klassische Gegenbeispiel.
2. L = 1 als Urteil behandeln. Beim Quotienten- und Wurzelkriterium bedeutet L = 1, dass du das Kriterium wechseln musst.
3. In die falsche Richtung vergleichen. Kleiner als eine divergente Reihe oder größer als eine konvergente zu sein, sagt nichts aus.
4. Die Voraussetzungen des Integralkriteriums vergessen. Die Funktion muss positiv und monoton fallend sein (zumindest ab einer Stelle).
5. Reihe und Folge verwechseln. "Die Glieder konvergieren gegen 0" und "die Reihe konvergiert" sind verschiedene Aussagen.
6. Beträge ignorieren. Quotienten- und Wurzelkriterium verwenden |a_n|, und eine alternierende Reihe kann konvergieren, ohne absolut zu konvergieren.

Die Wahl des richtigen Kriteriums üben

Zu erkennen, welches Kriterium passt, ist eine Fähigkeit der Mustererkennung, und schnell wirst du darin nur durch Wiederholung. Nach ein paar Dutzend Reihen schaust du auf \frac{3^n}{n!} und denkst "Quotientenkriterium", bevor du fertig gelesen hast. Die interaktive Lektion unten mischt Reihen aller Typen und gibt dir sofort Rückmeldung zu deiner Wahl des Kriteriums und zu deiner Schlussfolgerung.