Derivada de xeˣ: fórmula, passo a passo e exemplos

A derivada de xe^x é e^x(x + 1). É um produto de x por e^x, então a regra do produto é a ferramenta certa.

Passo a passo com a regra do produto

Com f = x e g = e^x, a regra do produto (fg)' = f'g + fg' dá:

1. f' = 1.
2. g' = e^x, já que a derivada de eˣ é ela mesma.
3. Junte: 1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x.
4. Coloque e^x em evidência: e^x(x + 1).

A forma fatorada é mais útil. Como e^x nunca é zero, a derivada só se anula onde x + 1 = 0.

Gráfico de xeˣ e de sua derivada

Mínimo e ponto de inflexão

Mínimo. A derivada e^x(x + 1) é negativa para x < -1 e positiva para x > -1. Então x = -1 é um ponto de mínimo, com valor

Ponto de inflexão. A derivada segunda é

Ela muda de sinal em x = -2, então o gráfico passa de concavidade para baixo para concavidade para cima ali. O ponto é \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271).

O padrão da derivada de ordem n

Toda vez que você deriva e^x(x + k), obtém e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1). Então:

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: versão com decaimento. Para f(x) = xe^{-x}, use a regra da cadeia em e^{-x} (veja e^(−x)):

Agora o ponto crítico é um máximo, em x = 1.

Exemplo 2: uma potência maior. Para g(x) = x^2e^x,

Os pontos críticos estão em x = 0 e x = -2.

Exemplo 3: um expoente multiplicado. Para h(x) = xe^{3x},

Exemplo 4: uma reta tangente. Em x = 0, xe^x = 0 e a inclinação é e^0(0 + 1) = 1. A reta tangente é y = x.

Erros comuns

1. Multiplicar as duas derivadas. 1\cdot e^x = e^x não é a regra do produto; isso perde o termo xe^x.
2. Dar xe^x como resposta. A derivada de e^x é e^x, mas o produto com x ainda exige a regra do produto.
3. Não fatorar. Deixar e^x + xe^x está correto, mas fatorar torna muito mais fácil encontrar os pontos críticos.

No sentido inverso, \int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C por integração por partes; veja a integral de xeˣ. Confira: \frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x. Pratique com os exercícios de regra do produto e do quociente.