Regra do produto para derivadas: fórmula, exemplos e demonstração
A regra do produto: a derivada de f·g é f'g + fg'. A fórmula, exemplos resolvidos, a versão com três fatores, uma demonstração curta e erros comuns.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Um produto de duas funções diferenciáveis, ambas dependendo de x
- Em palavras
- Derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda
- Três fatores
- (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
- Desnecessária quando
- Um dos fatores é constante (use a regra da constante multiplicativa)
- Versão para integrais
- Integração por partes
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A regra do produto diz como derivar duas funções multiplicadas. A derivada de um produto não é o produto das derivadas. Em vez disso, você deriva um fator de cada vez e soma os resultados.
A fórmula da regra do produto
Se f e g são diferenciáveis, então
Um jeito comum de dizer: derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Abreviando, (fg)' = f'g + fg'.
Com três fatores o padrão continua, com um fator derivado por termo:
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma potência vezes uma função trigonométrica. Sejam f = x^2 e g = \sin x, então f' = 2x e g' = \cos x:
Exemplo 2: uma potência vezes uma exponencial. Com f = x e g = e^x:
Exemplo 3: um logaritmo. Com f = x e g = \ln x:
Exemplo 4: dois polinômios, conferindo pela expansão. Para (3x + 1)(x^2 - 2):
Expandindo primeiro, obtemos 3x^3 + x^2 - 6x - 2, cuja derivada também é 9x^2 + 2x - 6.
Exemplo 5: três fatores. Para x\,e^x\sin x:
Quando usar a regra do produto
Use quando dois (ou mais) fatores dependem de x:
| Expressão | Usar a regra do produto? |
|---|---|
| x^3\cos x | Sim |
| e^x \ln x | Sim |
| 5\sin x | Não, 5 é constante: regra da constante multiplicativa |
| \sin(x^2) | Não, é uma composição: regra da cadeia |
| \frac{x^2}{x + 1} | Use a regra do quociente, ou a regra do produto em x^2(x+1)^{-1} |
Muitas derivadas precisam da regra do produto e da regra da cadeia juntas. Para x^2 e^{3x}, a regra do produto separa os fatores e a regra da cadeia cuida de e^{3x}: o resultado é 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}.
Por que a regra do produto funciona
Parta da definição da derivada por limite e some e subtraia f(x+h)g(x) no numerador:
Quando h \to 0, f(x+h) \to f(x) porque funções diferenciáveis são contínuas, e os dois quocientes de diferenças viram g'(x) e f'(x). Sobra f(x)g'(x) + g(x)f'(x).
Imagine um retângulo de lados f e g. Quando os dois lados crescem um pouco, a área ganha uma faixa de tamanho f'g ao longo de um lado e uma faixa de tamanho fg' ao longo do outro.
Erros comuns
- Multiplicar as derivadas. \frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x. Você precisa de dois termos.
- Derivar os dois fatores no mesmo termo. Cada termo tem exatamente um fator derivado.
- Usá-la em um múltiplo constante. Funciona, mas é perda de tempo. \frac{d}{dx}\,4x^3 é simplesmente 12x^2.
- Esquecer a regra da cadeia dentro de um fator. Em x\sin(2x), a derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), então a resposta é \sin(2x) + 2x\cos(2x).
Integrando a regra do produto, obtém-se a integração por partes. Para mais exemplos e uma comparação lado a lado com a regra do quociente, leia o guia completo das regras do produto e do quociente.
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A regra do produto
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