Derivada de x ln x: fórmula, passo a passo e exemplos

A derivada de x\ln x é \ln x + 1. É um produto, então a regra do produto faz todo o trabalho.

Passo a passo com a regra do produto

A regra do produto diz que (fg)' = f'g + fg'. Tome f = x e g = \ln x:

1. f' = 1.
2. g' = \frac{1}{x}, pela derivada de ln x.
3. Junte: 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

O x da frente cancela o \frac{1}{x} vindo do logaritmo, deixando uma resposta limpa.

Gráfico de x ln x e de sua derivada

Encontrando o mínimo

Iguale a derivada a zero:

Para x < \frac{1}{e} a derivada é negativa, e para x > \frac{1}{e} é positiva, então este é um ponto de mínimo. Seu valor é

A derivada segunda confirma: \frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}, que é positiva para todo x > 0, então a curva tem concavidade para cima em todo o domínio.

O que acontece perto de x = 0

O gráfico parece começar na origem, embora x\ln x não esteja definida em 0. Isso acontece porque \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0. Escreva como \frac{\ln x}{1/x} e aplique a regra de L'Hôpital:

Enquanto isso, a inclinação \ln x + 1 vai para -\infty, então a curva sai da origem quase na vertical.

Exemplos relacionados

Exemplo 1. \frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Isso mostra que x\ln x - x é uma primitiva de \ln x; veja a integral de ln x.

Exemplo 2. \frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1).

Exemplo 3. \frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}, pela regra do quociente. Seu máximo está em x = e.

Exemplo 4. \frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1, já que \frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x} também.

Erros comuns

1. Multiplicar as derivadas. 1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x} não é a regra do produto. Você precisa dos dois termos.
2. Esquecer o domínio. x\ln x só existe para x > 0, então a busca pelo mínimo acontece só ali.
3. Confundir com x^x. \frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1). O fator \ln x + 1 aparece porque x^x = e^{x\ln x}; veja a derivada de xˣ.

No sentido inverso, a integral de x ln x usa integração por partes. Pratique mais a regra do produto nos exercícios de regra do produto e do quociente.