Derivada de eˣ: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de eˣ é eˣ. Veja por que com uma demonstração por limite, a forma com a regra da cadeia para e^u, o gráfico e exemplos como e^(3x) e x²eˣ.
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- e^x
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'
- Todas as derivadas de ordem superior
- e^x
- Valor de e
- e \approx 2.71828
- Versão para integrais
- \int e^x\,dx = e^x + C
Nesta página
A derivada de e^x é e^x. A função e sua inclinação são iguais em todo ponto, o que faz de e^x a função mais importante do cálculo.
Gráfico de eˣ
Como e^x > 0 para todo x, a inclinação é sempre positiva, então e^x é sempre crescente. E como a inclinação cresce junto com a altura, a curva se curva para cima cada vez mais rápido.
Demonstração pela definição de limite
Use a definição de derivada por limite:
Para qualquer base a, a derivada de a^x é a^x vezes a constante \lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}. Para a = 2 essa constante é cerca de 0.693. Para a = 3 é cerca de 1.099. O número e \approx 2.71828 é a base em que a constante é exatamente 1:
Você pode conferir numericamente: com h = 0.001, \frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005.
Versão com a regra da cadeia: derivada de e^u
Quando o expoente é algo diferente de x, use a regra da cadeia:
Copie a exponencial exatamente como está e multiplique pela derivada do expoente.
| Função | Expoente u | Derivada |
|---|---|---|
| e^{3x} | 3x | 3e^{3x} |
| e^{-x} | -x | -e^{-x} |
| e^{x^2} | x^2 | 2xe^{x^2} |
| e^{\sin x} | \sin x | \cos x\,e^{\sin x} |
| e^{\sqrt{x}} | \sqrt{x} | \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} |
Algumas delas têm página própria: e^(2x), e^(−x) e e^(x²).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: regra do produto. Para f(x) = x^2e^x, a regra do produto dá
Colocar e^x em evidência facilita encontrar onde f'(x) = 0: em x = 0 e x = -2.
Exemplo 2: regra do quociente. Para g(x) = \frac{e^x}{x}, a regra do quociente dá
Exemplo 3: derivadas de ordem superior. Toda derivada de e^x é e^x, então f^{(n)}(x) = e^x para todo n. É por isso que a série de Maclaurin de e^x é 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.
Erros comuns
- Usar a regra da potência. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}. A regra da potência exige expoente constante.
- Esquecer o fator da regra da cadeia. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, não e^{5x}.
- Mudar o expoente. A derivada de e^{x^2} mantém e^{x^2}; ela não vira e^{2x}.
- Tratar e como variável. e é uma constante, então \frac{d}{dx}e^2 = 0 e \frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}.
O fato inverso, \int e^x\,dx = e^x + C, está na página da integral de eˣ. A função inversa é o logaritmo natural; veja a derivada de ln x e a função exponencial natural.
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