Integral de tg² x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de \tan^2 x é \tan x - x + C. Uma única identidade a transforma em duas integrais que você já conhece.

Gráfico de tg² x e de sua primitiva

Dedução, passo a passo

1. Parta da identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1. Divida por \cos^2 x para obter \tan^2 x + 1 = \sec^2 x.
2. Reorganize: \tan^2 x = \sec^2 x - 1.
3. Substitua: \displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx.
4. Use a integral de sec² x, \tan x, e a integral de uma constante, x.
5. Junte: \tan x - x + C.

Verificação por derivação

Integrais definidas

Como \tan^2 x é par, \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}.

Variantes por substituição

Repare que só o termo com \tan recebe o fator \frac{1}{a}. O -x vem da integral da constante 1, que não tem função de dentro.

Exemplo 1. \int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C.

Exemplo 2. \int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C.

Potências maiores de tg

A identidade \tan^2 x = \sec^2 x - 1 é a chave para qualquer potência de \tan x.

Exemplo 3: tg³ x.

A primeira parte dá \frac{\tan^2 x}{2} com u = \tan x. A segunda é a integral de tg x. Então

Exemplo 4: tg² x sec² x. Aqui u = \tan x funciona diretamente: \int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C. Esse é o único caso em que \frac{\tan^3 x}{3} é a resposta certa, porque o fator \sec^2 x está presente.

Exemplo 5: tg⁴ x. \tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x, então

Erros comuns

1. Responder \frac{\tan^3 x}{3}. Isso exige um fator \sec^2 x. Confira: sua derivada é \tan^2 x\sec^2 x.
2. Responder \sec^2 x ou \ln^2\lvert\sec x\rvert. Nenhuma das duas, derivada, volta a \tan^2 x.
3. Inverter a identidade. É \sec^2 x - 1, e não 1 - \sec^2 x. Teste em x = \frac{\pi}{4}: \tan^2 = 1 e \sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
4. Dividir o -x por a em \int\tan^2(ax)\,dx.

Pratique com os exercícios de integrais trigonométricas.