practicecalculus
Commencer
practicecalculus
Intégrales trigonométriques

Intégrale de tan² x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de tan² x vaut tan x - x + C. Comment l'identité tan² x = sec² x - 1 fait tout le travail, puis tan²(ax), tan³ x et des intégrales définies.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C
Primitive
\tan x - x + C
Identité utilisée
\tan^2 x = \sec^2 x - 1
De 0 à π/4
1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.215
Forme affine
\int\tan^2(ax)\,dx = \dfrac{\tan(ax)}{a} - x + C
Version cotangente
\int\cot^2 x\,dx = -\cot x - x + C
Sur cette page
  1. Graphique de tan² x et de sa primitive
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Variantes par changement de variable
  6. Puissances supérieures de tan
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \tan^2 x est \tan x - x + C. Une seule identité la transforme en deux intégrales que vous connaissez déjà. Ici sec² x désigne 1/cos² x, c'est-à-dire 1 + tan² x.

\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C

Graphique de tan² x et de sa primitive

Aire sous y = tan² x de 0 à π/4, avec la primitive y = tan x - x
L'aire hachurée vaut 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215. La primitive en pointillés a une tangente horizontale à l'origine, car \tan^2 0 = 0, et ne décroît jamais.

Démonstration pas à pas

  1. Partir de l'identité de Pythagore \sin^2 x + \cos^2 x = 1. En divisant par \cos^2 x, on obtient \tan^2 x + 1 = \sec^2 x.
  2. Réarranger : \tan^2 x = \sec^2 x - 1.
  3. Remplacer : \displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx.
  4. Utiliser l'intégrale de sec² x, \tan x, et l'intégrale d'une constante, x.
  5. Regrouper : \tan x - x + C.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \checkmark

Intégrales définies

\int_0^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = \left(\tan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215
\int_0^{\pi/3}\tan^2 x\,dx = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685

Comme \tan^2 x est paire, \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}.

Variantes par changement de variable

\int\tan^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) - x + C

Remarquez que seul le terme en \tan reçoit le facteur \frac{1}{a}. Le -x vient de l'intégration de la constante 1, qui n'a pas de fonction intérieure.

Exemple 1. \int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C.

Exemple 2. \int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C.

Puissances supérieures de tan

L'identité \tan^2 x = \sec^2 x - 1 est la clé de toutes les puissances de \tan x.

Exemple 3 : tan³ x.

\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x(\sec^2 x - 1)\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx

Le premier morceau vaut \frac{\tan^2 x}{2} avec u = \tan x. Le second est l'intégrale de tan x. Donc

\int\tan^3 x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C

Exemple 4 : tan² x sec² x. Ici u = \tan x fonctionne directement : \int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C. C'est le seul cas où \frac{\tan^3 x}{3} est la bonne réponse, car le facteur \sec^2 x est présent.

Exemple 5 : tan⁴ x. \tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x, donc

\int\tan^4 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C

Erreurs fréquentes

  1. Répondre \frac{\tan^3 x}{3}. Il faudrait un facteur \sec^2 x. Vérification : sa dérivée vaut \tan^2 x\sec^2 x.
  2. Répondre \sec^2 x ou \ln^2\lvert\sec x\rvert. Aucune des deux ne redonne \tan^2 x en dérivant.
  3. Inverser l'identité. C'est \sec^2 x - 1, pas 1 - \sec^2 x. Testez en x = \frac{\pi}{4} : \tan^2 = 1 et \sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
  4. Diviser -x par a dans \int\tan^2(ax)\,dx.

Entraînez-vous avec les exercices sur les intégrales trigonométriques.

Entraîne-toi maintenant

Puissances de sinus et de cosinus

Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.

S'entraîner sur cette leçon

Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de tan² x ?
C'est \tan x - x + C.

Combien vaut l'intégrale de tan² x entre 0 et π/4 ?
Elle vaut \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215.

Quelle est l'intégrale de tan²(2x) ?
C'est \frac{1}{2}\tan(2x) - x + C.

Quelle est l'intégrale de tan³ x ?
On écrit \tan^3 x = \tan x\sec^2 x - \tan x. Le résultat est \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C.

Rédigé par l'équipe PracticeCalculus

Nous créons des leçons d'analyse interactives et rédigeons chaque page pour qu'elle soit claire et juste. Tu as repéré une erreur ? Dis-le-nous et nous la corrigerons.

Autres intégrales

Intégrale de sec² x \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C L'intégrale de sec² x = 1/cos² x vaut tan x + C. Pourquoi cela découle de la dérivée de tan x, la forme sec²(ax), tan² x, csc² x et des exemples. Intégrale de tan x \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C L'intégrale de tan x vaut -ln|cos x| + C, ou ln|sec x| + C. Le changement de variable u = cos x, pourquoi les deux formes coïncident, et des exemples. Intégrale de sec³ x \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C L'intégrale de sec³ x vaut ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. La boucle d'intégration par parties pas à pas, la vérification et la longueur d'arc.