Integral de sec² x: fórmula, dedução e exemplos
A integral de sec² x é tg x + C. Veja por que ela vem da derivada de tg x, a forma sec²(ax), integrais relacionadas como tg² x e cossec² x, e exemplos.
Integrais trigonométricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \tan x + C
- Também escrita como
- \int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C
- Forma linear
- \int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C
- Parceira com cossecante
- \int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C
- De 0 a π/4
- 1
Nesta página
A integral de \sec^2 x é \tan x + C. Ela é a inversão direta da derivada de \tan x, então não há nada a calcular, apenas um fato a reconhecer.
Gráfico de sec² x e de sua primitiva
O menor valor de \sec^2 x é 1, em x = 0. Isso coincide com a inclinação de \tan x na origem.
Dedução
- Lembre a derivada de tg x: \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.
- Então \tan x é uma primitiva de \sec^2 x.
- Some C: \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C.
Se você esqueceu por que \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x, aplique a regra do quociente a \frac{\sin x}{\cos x}:
Verificação por derivação
Integrais definidas
Qualquer intervalo que alcance \pm\frac{\pi}{2} dá uma integral imprópria divergente, porque \tan x \to \infty.
Variantes por substituição
Exemplo 1. \int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C.
Exemplo 2. \int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C, com u = x^2.
Exemplo 3. \int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C, com u = \tan x.
Exemplo 4. \int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C, já que o numerador é a derivada do denominador.
Integrais relacionadas
As integrais trigonométricas de "quadrados" e "produtos" saem direto das derivadas trigonométricas:
| Integral | Resposta | Vem de |
|---|---|---|
| \int\sec^2 x\,dx | \tan x + C | (\tan x)' = \sec^2 x |
| \int\csc^2 x\,dx | -\cot x + C | (\cot x)' = -\csc^2 x |
| \int\sec x\tan x\,dx | \sec x + C | (\sec x)' = \sec x\tan x |
| \int\csc x\cot x\,dx | -\csc x + C | (\csc x)' = -\csc x\cot x |
| \int\tan^2 x\,dx | \tan x - x + C | \tan^2 x = \sec^2 x - 1 |
A última linha é resolvida na página da integral de tg² x, e a terceira na página da integral de sec x tg x.
Exemplo resolvido: duas respostas corretas
Calcule \int\sec^2 x\tan x\,dx.
- Com u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx: a resposta é \frac{\tan^2 x}{2} + C.
- Com u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx: o integrando é \sec x\cdot(\sec x\tan x), então a resposta é \frac{\sec^2 x}{2} + C.
As duas estão certas. Como \sec^2 x = \tan^2 x + 1, as duas respostas diferem só pela constante \frac{1}{2}, que o C absorve.
Erros comuns
- Usar a regra da potência: \frac{\sec^3 x}{3}. A regra da potência exige que a derivada de dentro, \sec x\tan x, esteja presente. Ela não está.
- Responder 2\sec x\cdot\sec x\tan x. Essa é a derivada de \sec^2 x.
- Confundir com \int\sec x\,dx. Essa vale \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Veja a integral de sec x.
- Esquecer de dividir por a em \int\sec^2(ax)\,dx.
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