Integral de tg x (tangente): fórmula, dedução e exemplos

A integral de \tan x é \ln\lvert\sec x\rvert + C. Nenhuma derivada básica dá \tan x diretamente, então a resposta vem de uma substituição rápida.

Gráfico de tg x e de sua primitiva

Dedução, passo a passo

1. Reescreva com seno e cosseno: \displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
2. Seja u = \cos x. Então du = -\sin x\,dx, logo \sin x\,dx = -du.
3. Substitua: \displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Volte com u = \cos x: -\ln\lvert\cos x\rvert + C.
5. Use uma propriedade do logaritmo para arrumar: -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert.

O passo 3 usa a integral de 1/x. É o padrão \int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert, com um sinal de menos porque o numerador é -f'.

Verificação por derivação

Isso usa a derivada de sec x, \sec x\tan x. Compare com a derivada de tg x, que é \sec^2 x: um resultado completamente diferente.

Integrais definidas

Como \tan x é ímpar, \int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0 para a < \frac{\pi}{2}. Integrar até \frac{\pi}{2} dá uma integral imprópria que diverge, porque \ln\sec x \to \infty.

Variantes por substituição

Por exemplo, \int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C.

Com a derivada interna presente: \int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: tg vezes sec². \int\tan x\sec^2 x\,dx com u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx, dá \frac{\tan^2 x}{2} + C.

Exemplo 2: tg ao cubo. Use \tan^2 x = \sec^2 x - 1:

Exemplo 3: a parceira cotg. Os mesmos passos com u = \sin x dão \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C. Veja a integral de cotg x.

Erros comuns

1. Responder \sec^2 x. Essa é a derivada de \tan x, e não a integral.
2. Responder \ln\lvert\cos x\rvert sem o sinal de menos. Sua derivada é -\tan x.
3. Esquecer o módulo. \cos x é negativo em \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), e o \ln de um número negativo não está definido.
4. Confundir com \int\tan^2 x\,dx, que é \tan x - x + C. Veja a integral de tg² x.

Pratique com os exercícios de substituição.