Teorema da Divergência (Teorema de Gauss): enunciado e exemplos

O teorema da divergência, também chamado de teorema de Gauss, diz que o fluxo total de um campo vetorial para fora de uma superfície fechada é igual ao divergente total do campo no interior. O que escoa para fora pela casca precisa ser produzido por fontes no interior.

Enunciado do teorema da divergência

Sejam

1. E uma região sólida do espaço cuja fronteira S é uma superfície fechada e suave por partes,
2. S orientada pela normal para fora \mathbf{n}, e
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle com derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém E.

Então

Aqui \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS é o fluxo para fora.

O que o teorema da divergência significa

Pense em \mathbf{F} como a velocidade de um fluido. O divergente em um ponto é a taxa com que o fluido é criado ali por unidade de volume: positivo em uma fonte, negativo em um sumidouro. Somando toda a criação dentro do sólido, obtemos a quantidade total que sai pela superfície. Como no teorema de Green, o fluxo através de cada parede interna entre caixinhas vizinhas se cancela, e só sobra a fronteira externa.

Por que cada hipótese importa

Suavidade no interior. O campo do inverso do quadrado \mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}, onde \mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle, tem \nabla\cdot\mathbf{F} = 0 em todo lugar exceto na origem, onde não está definido. Mesmo assim, na esfera unitária \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1, então o fluxo é a área da superfície, 4\pi, e não 0. O teorema falha porque E contém o ponto singular. Essa é exatamente a lei de Gauss: o fluxo mede a carga pontual no interior.

Uma superfície fechada. O fluxo através de uma superfície aberta, como um hemisfério, não é determinado apenas pelo divergente. Feche a superfície primeiro.

Orientação para fora. Usar normais para dentro troca o sinal do fluxo.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: \mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle através de uma esfera de raio R.

Passo 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 2. \iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3.

Verificação direta. Na esfera, \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}, então \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R. O fluxo é R vezes a área 4\pi R^2, ou seja, 4\pi R^3.

Exemplo 2: \mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle através da esfera unitária.

\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2 em coordenadas esféricas. Então

Calcular esse fluxo como integral de superfície daria muito mais trabalho.

Exemplo 3: um cubo com seis faces. Encontre o fluxo para fora de \mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle através da superfície do cubo unitário [0, 1]^3.

Passo 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1.

Passo 2. Integre sobre o cubo, termo a termo (cada uma das outras variáveis integra para 1):

Uma integral tripla substitui seis integrais de superfície separadas.

Erros comuns

1. Aplicar o teorema a uma superfície aberta. O teorema exige a fronteira fechada de um sólido.
2. Não perceber uma singularidade. Verifique se \mathbf{F} está definido e é suave em todos os pontos do interior, especialmente na origem.
3. Confundir divergente com rotacional. O divergente é um escalar, P_x + Q_y + R_z; o rotacional é um vetor e pertence ao teorema de Stokes.

Teoremas e guias relacionados

O teorema da divergência, o teorema de Stokes e o teorema de Green são versões de uma mesma ideia: integrar uma derivada sobre uma região é o mesmo que integrar o campo original sobre a fronteira, assim como no Teorema Fundamental do Cálculo. Para o lado da integral tripla, comece por integrais duplas e, para as operações com vetores, veja vetores, produto escalar e produto vetorial.