Teorema de Stokes: enunciado, orientação e exemplos resolvidos

O teorema de Stokes diz que a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada no espaço é igual ao rotacional total que atravessa qualquer superfície que tenha essa curva como borda. É o teorema de Green levado do plano para as superfícies curvas.

Enunciado do teorema de Stokes

Sejam

1. S uma superfície orientada e suave por partes com normal unitária \mathbf{n},
2. C o bordo de S, uma curva simples, fechada e suave por partes com orientação positiva (regra da mão direita em relação a \mathbf{n}), e
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle com derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém S.

Então

onde \nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle e d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS.

O que o teorema de Stokes significa

O rotacional em um ponto mede o quanto o campo gira em torno desse ponto, como uma pequena roda de pás. Cubra a superfície com pequenos pedaços e some o giro em torno de cada pedaço. Em cada aresta compartilhada, pedaços vizinhos percorrem sentidos opostos e se cancelam, então sobra apenas o giro ao longo da borda externa, a circulação ao longo de C.

Uma consequência marcante: a superfície não importa, só o seu bordo. Um hemisfério e um disco plano com a mesma borda circular têm o mesmo fluxo do rotacional.

Por que cada hipótese importa

Orientações compatíveis. Se C é percorrida no sentido contrário ao da regra da mão direita, a integral de linha troca de sinal, mas a integral de superfície não, então a igualdade falha por um fator -1.

Suavidade na superfície. O campo \mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle tem \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0} onde está definido, mas sua circulação ao longo do círculo unitário no plano xy é 2\pi. Toda superfície limitada por esse círculo precisa cruzar o eixo z, onde \mathbf{F} não está definido, então o teorema de Stokes não se aplica.

Uma curva de bordo. Uma superfície fechada, como uma esfera, não tem bordo, então \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0 para ela. Isso é coerente com o teorema da divergência, já que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: um hemisfério versus seu bordo. Seja \mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle e seja S a metade superior da esfera unitária com normal para cima, de modo que C é o círculo unitário no plano xy, percorrido no sentido anti-horário visto de cima.

Integral de linha. Com \mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle:

Integral de superfície. \nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle. Como só o bordo importa, troque o hemisfério pelo disco unitário plano com normal \mathbf{k}: o fluxo é 2 \cdot \pi = 2\pi. Os dois lados coincidem.

Exemplo 2: um triângulo no espaço. Calcule \oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz, onde C é o triângulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), percorrido no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 1. Para \mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle, \nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle.

Passo 2. Tome S como o triângulo plano sobre o plano z = 1 - x - y com normal para cima. Para um gráfico z = g(x, y), d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA.

Passo 3. (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3, integrado sobre a projeção, o triângulo x, y \ge 0, x + y \le 1 de área \frac{1}{2}:

Uma única integral de superfície substitui três integrais de linha ao longo das arestas.

Exemplo 3: campos conservativos. Se \mathbf{F} = \nabla f com f tendo derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então \nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0} pelo teorema de Clairaut, e o teorema de Stokes dá \oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0 para toda curva fechada que limita uma superfície. Campos gradientes não realizam trabalho líquido ao longo de laços fechados.

Erros comuns

1. Orientações incompatíveis. Decida primeiro a normal e depois oriente C pela regra da mão direita.
2. Calcular o rotacional errado. Escreva o determinante com cuidado; a componente do meio é P_z - R_x, não R_x - P_z.
3. Usar a superfície difícil. Se o rotacional é simples, uma superfície plana com o mesmo bordo costuma ser muito mais fácil.

Teoremas e guias relacionados

O teorema de Stokes generaliza o teorema de Green e está ao lado do teorema da divergência como um dos três grandes teoremas do cálculo vetorial. Os três são versões em dimensões mais altas do Teorema Fundamental do Cálculo. Para o produto vetorial por trás do rotacional, veja vetores, produto escalar e produto vetorial, e para derivadas parciais veja derivadas parciais.