Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2: cálculo de integrais

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2 (TFC 2), também chamado de teorema da avaliação, diz que uma integral definida pode ser calculada encontrando uma primitiva e subtraindo seus valores nas extremidades. Ele troca o limite de somas de Riemann por uma linha de álgebra.

Enunciado do TFC parte 2

Suponha que

1. f seja contínua em [a, b], e
2. F seja qualquer primitiva de f em [a, b], ou seja, F'(x) = f(x).

Então

O lado direito costuma ser escrito como \big[F(x)\big]_a^b ou F(x)\Big|_a^b.

O que o TFC 2 significa

A integral definida soma f(x)\,dx ao longo do intervalo. Se f é a taxa de variação de F, somar todas as pequenas variações F'(x)\,dx dá a variação total de F, que é F(b) - F(a). Esse é o teorema da variação total: integre a velocidade para obter o deslocamento, integre uma vazão para obter o volume total.

Por que a continuidade importa

Considere \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx. Uma primitiva de x^{-2} é -\frac{1}{x}, e aplicar a fórmula às cegas dá

Mas \frac{1}{x^2} > 0 em todo lugar, então sua integral não pode ser negativa. O erro: \frac{1}{x^2} não é contínua em [-1, 1] porque explode em x = 0, então o TFC 2 não se aplica. Tratada corretamente como uma integral imprópria, ela diverge para \infty. Sempre verifique se há descontinuidades dentro do intervalo antes de substituir os limites.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: um polinômio. Calcule \int_1^3 (2x + 1)\,dx.

Passo 1. Uma primitiva é F(x) = x^2 + x.

Passo 2. F(3) = 9 + 3 = 12 e F(1) = 1 + 1 = 2.

Passo 3. \int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10.

Verificação pela geometria: a região é um trapézio com lados paralelos f(1) = 3 e f(3) = 7 e largura 2, então sua área é \frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10.

Exemplo 2: uma integral trigonométrica. Calcule \int_0^\pi \sin x\,dx.

Essa é a área sob um arco da senoide, mostrada no gráfico acima.

Exemplo 3: um logaritmo. Calcule \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

\frac{1}{x} é contínua em [1, e], e uma primitiva é \ln x. Então

Exemplo 4: variação total. Um tanque enche a uma taxa de r(t) = 3t^2 litros por minuto. Entre t = 1 e t = 2 minutos, o volume aumenta

ou seja, 7 litros.

Erros comuns

1. Subtrair na ordem errada. É F(b) - F(a), o limite superior primeiro.
2. Esquecer os parênteses. Com F(x) = x^2 - 3x, escreva F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a). Perder os parênteses troca sinais.
3. Ignorar descontinuidades. Como mostrado acima, um integrando que explode dentro de [a, b] exige técnicas de integral imprópria.
4. Confundir área com área com sinal. O TFC 2 dá a área com sinal: regiões abaixo do eixo x contam como negativas. Para a área total, divida onde f muda de sinal, como em área entre curvas.

Como o TFC 2 se liga ao TFC 1

O TFC parte 1 diz que G(x) = \int_a^x f(t)\,dt é uma primitiva de f. Qualquer outra primitiva difere de G por uma constante (uma consequência do Teorema do Valor Médio), então F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt. Essa é toda a demonstração da parte 2.

Para encontrar primitivas, veja antiderivadas e substituição (mudança de variável). Para as duas partes do teorema com mais exemplos, leia o guia do Teorema Fundamental do Cálculo.