Teorema do Valor Intermediário (TVI): enunciado e exemplos

O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz que uma função contínua não pode pular valores. Se ela começa em uma altura e termina em outra, precisa passar por todas as alturas intermediárias. É a forma padrão de provar que uma equação tem solução sem resolvê-la.

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário

Suponha que

1. f é contínua no intervalo fechado [a, b], e
2. N é qualquer número estritamente entre f(a) e f(b).

Então existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a, b) tal que

O caso particular mais comum trata de raízes: se f é contínua em [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então f(c) = 0 para algum c em (a, b). Essa versão às vezes é chamada de teorema de Bolzano (ou teorema do anulamento).

O que o TVI significa

Desenhe uma curva contínua do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)) sem tirar o lápis do papel. Qualquer reta horizontal y = N entre as duas alturas precisa ser cruzada. O TVI é a versão precisa desse desenho.

Repare no que o teorema não diz. Ele não diz onde está c, nem que c é único. É um teorema de existência.

Por que a continuidade importa: contraexemplos

Uma assíntota vertical. Seja f(x) = \frac{1}{x} em [-1, 1]. Então f(-1) = -1 e f(1) = 1, logo 0 está entre eles, mas \frac{1}{x} nunca vale 0. O TVI não se aplica porque f nem sequer está definida, muito menos é contínua, em x = 0.

Um salto. Seja f(x) = 0 para x < 1 e f(x) = 2 para x \ge 1, em [0, 2]. A função vai de 0 a 2, mas nunca vale 1. O salto em x = 1 quebra a continuidade.

Continuidade em parte do intervalo não basta. A hipótese é continuidade em todo o [a, b], incluindo as extremidades. Verificar alguns pontos não prova nada. Veja o guia sobre continuidade para saber como verificá-la.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: mostre que x^3 - x - 1 = 0 tem solução entre 1 e 2.

Passo 1. f(x) = x^3 - x - 1 é um polinômio, então é contínua em [1, 2].

Passo 2. f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 e f(2) = 8 - 2 - 1 = 5.

Passo 3. Como -1 < 0 < 5, o TVI garante um c em (1, 2) com f(c) = 0.

Passo 4 (estreitando o intervalo). f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0, então a mudança de sinal, e portanto uma raiz, está em (1, 1.5). Repetir essa divisão ao meio é o método da bissecção, que localiza a raiz em c \approx 1.3247.

Exemplo 2: mostre que \cos x = x tem solução.

Passe tudo para um lado: g(x) = \cos x - x, que é contínua em toda parte. Então

Pelo TVI, g(c) = 0 para algum c em (0, \frac{\pi}{2}), então \cos c = c. Você nunca conseguiria resolver essa equação com álgebra, mas o TVI prova que a solução existe.

Exemplo 3: atingir um valor diferente de zero. Mostre que f(x) = x^2 + x assume o valor 4 em [1, 2]. f é contínua, f(1) = 2 e f(2) = 6. Como 2 < 4 < 6, existe um c em (1, 2) com c^2 + c = 4. (Resolvendo, obtemos c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56, que de fato está no intervalo.)

Como escrever um argumento com o TVI

Uma resposta completa em prova menciona as três partes:

1. Continuidade: diga por que f é contínua em [a, b] (polinômio, soma de funções contínuas etc.).
2. Valores nas extremidades: calcule f(a) e f(b).
3. Conclusão: diga que N está entre eles, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, algum c em (a, b) satisfaz f(c) = N.

Erros comuns

1. Pular a verificação da continuidade. Sem ela o argumento fica incompleto, e para funções como \tan x ou \frac{1}{x} a conclusão pode ser falsa.
2. Afirmar que há exatamente uma solução. O TVI garante pelo menos uma. A unicidade exige um argumento separado, por exemplo, que f é estritamente crescente.
3. Usar a recíproca. Uma função que assume todos os valores intermediários não é necessariamente contínua. O TVI só vale em um sentido.

Teoremas relacionados

O TVI anda junto com o Teorema do Valor Extremo: os dois dependem da continuidade em um intervalo fechado. Para provar que uma raiz é a única, combine o TVI com o teorema de Rolle. Para as técnicas de limites por trás da continuidade, veja como calcular limites e o Teorema do Confronto.