Zwischenwertsatz: Aussage, Graph und Beispiele

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion keine Werte überspringen kann. Beginnt sie auf einer Höhe und endet auf einer anderen, muss sie jede Höhe dazwischen durchlaufen. Er ist das Standardwerkzeug, um zu beweisen, dass eine Gleichung eine Lösung hat, ohne sie zu lösen.

Aussage des Zwischenwertsatzes

Es gelte:

1. f ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b], und
2. N ist irgendeine Zahl, die echt zwischen f(a) und f(b) liegt.

Dann gibt es mindestens eine Zahl c im offenen Intervall (a, b) mit

Der häufigste Spezialfall betrifft Nullstellen: Ist f stetig auf [a, b] und haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, dann gilt f(c) = 0 für ein c in (a, b). Diese Version heißt auch Nullstellensatz von Bolzano.

Was der Zwischenwertsatz bedeutet

Zeichne eine stetige Kurve vom Punkt (a, f(a)) zum Punkt (b, f(b)), ohne den Stift abzusetzen. Jede waagerechte Gerade y = N zwischen den beiden Höhen muss dabei gekreuzt werden. Der Zwischenwertsatz ist die präzise Fassung dieser Zeichnung.

Beachte, was der Satz nicht sagt. Er sagt nicht, wo c liegt, und er sagt nicht, dass c eindeutig ist. Er ist ein Existenzsatz.

Warum Stetigkeit wichtig ist: Gegenbeispiele

Eine Polstelle. Sei f(x) = \frac{1}{x} auf [-1, 1]. Dann ist f(-1) = -1 und f(1) = 1, also liegt 0 dazwischen, und doch ist \frac{1}{x} nie 0. Der Zwischenwertsatz ist nicht anwendbar, weil f bei x = 0 nicht einmal definiert ist, geschweige denn stetig.

Ein Sprung. Sei f(x) = 0 für x < 1 und f(x) = 2 für x \ge 1, auf [0, 2]. Die Funktion geht von 0 nach 2, ist aber nie gleich 1. Der Sprung bei x = 1 verletzt die Stetigkeit.

Stetigkeit auf einem Teil des Intervalls reicht nicht. Vorausgesetzt ist Stetigkeit auf ganz [a, b], einschließlich der Randpunkte. Ein paar Punkte zu prüfen beweist nichts. Wie man Stetigkeit nachweist, steht im Leitfaden zur Stetigkeit.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Zeige, dass x^3 - x - 1 = 0 eine Lösung zwischen 1 und 2 hat.

Schritt 1. f(x) = x^3 - x - 1 ist ein Polynom, also stetig auf [1, 2].

Schritt 2. f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 und f(2) = 8 - 2 - 1 = 5.

Schritt 3. Wegen -1 < 0 < 5 liefert der Zwischenwertsatz ein c in (1, 2) mit f(c) = 0.

Schritt 4 (weiter eingrenzen). f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0, also liegt der Vorzeichenwechsel und damit eine Nullstelle in (1, 1.5). Wiederholt man dieses Halbieren, erhält man das Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung), das die Nullstelle auf c \approx 1.3247 eingrenzt.

Beispiel 2: Zeige, dass \cos x = x eine Lösung hat.

Bringe alles auf eine Seite: g(x) = \cos x - x ist überall stetig. Dann gilt

Nach dem Zwischenwertsatz gilt g(c) = 0 für ein c in (0, \frac{\pi}{2}), also \cos c = c. Algebraisch könntest du diese Gleichung nie lösen, aber der Zwischenwertsatz beweist, dass die Lösung existiert.

Beispiel 3: ein anderer Wert als null. Zeige, dass f(x) = x^2 + x auf [1, 2] den Wert 4 annimmt. f ist stetig, f(1) = 2 und f(2) = 6. Wegen 2 < 4 < 6 gibt es ein c in (1, 2) mit c^2 + c = 4. (Auflösen ergibt c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56, das tatsächlich im Intervall liegt.)

So schreibst du eine Begründung mit dem Zwischenwertsatz

Eine vollständige Antwort in der Klausur nennt alle drei Teile:

1. Stetigkeit: Begründe, warum f auf [a, b] stetig ist (Polynom, Summe stetiger Funktionen und so weiter).
2. Werte an den Rändern: Berechne f(a) und f(b).
3. Schluss: Stelle fest, dass N zwischen ihnen liegt, also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein c in (a, b) mit f(c) = N.

Häufige Fehler

1. Die Stetigkeitsprüfung auslassen. Ohne sie ist die Begründung unvollständig, und bei Funktionen wie \tan x oder \frac{1}{x} kann die Aussage falsch sein.
2. Genau eine Lösung behaupten. Der Zwischenwertsatz liefert mindestens eine. Eindeutigkeit braucht ein eigenes Argument, zum Beispiel dass f streng monoton wachsend ist.
3. Die Umkehrung verwenden. Eine Funktion, die jeden Zwischenwert annimmt, ist nicht unbedingt stetig. Der Zwischenwertsatz gilt nur in eine Richtung.

Verwandte Sätze

Der Zwischenwertsatz ist ein Begleiter des Satzes vom Maximum und Minimum: Beide beruhen auf Stetigkeit auf einem abgeschlossenen Intervall. Um zu zeigen, dass eine Nullstelle die einzige ist, kombinierst du den Zwischenwertsatz mit dem Satz von Rolle. Zu den Grenzwerttechniken hinter der Stetigkeit siehe Grenzwerte berechnen und den Sandwich-Satz.