Teorema de Rolle: enunciado, hipóteses e exemplos resolvidos

O teorema de Rolle diz que, se uma função suave começa e termina na mesma altura, então em algum ponto entre elas o gráfico tem uma reta tangente horizontal. É o mais simples dos teoremas do valor médio e o passo usado para demonstrar os outros.

Enunciado do teorema de Rolle

Seja f uma função que satisfaz as três hipóteses:

1. f é contínua no intervalo fechado [a, b];
2. f é diferenciável no intervalo aberto (a, b);
3. f(a) = f(b).

Então existe pelo menos um número c em (a, b) tal que

O que o teorema de Rolle significa

Jogue uma bola para cima e pegue-a de volta na mesma altura. Em algum momento entre o lançamento e a pegada, sua velocidade vertical foi exatamente zero: no topo do arco. O teorema de Rolle é essa observação para qualquer função suave. Se o gráfico sobe, ele precisa virar para voltar a descer, e no ponto de virada a inclinação é zero. Se a função é constante, a inclinação é zero em todo lugar.

Por que cada hipótese importa

Diferenciabilidade. f(x) = |x| em [-1, 1] é contínua e f(-1) = f(1) = 1, mas o gráfico é um V pontudo. Sua derivada vale -1 à esquerda e 1 à direita e nunca é 0. O bico em x = 0, onde f não é diferenciável, é o que quebra o teorema.

Continuidade nas extremidades. Seja f(x) = x para 0 \le x < 1 e f(1) = 0. Então f(0) = f(1) = 0 e f é diferenciável em (0, 1), mas f'(x) = 1 em todo o interior. O salto em x = 1 quebra a continuidade em [a, b].

Valores iguais nas extremidades. f(x) = x em [0, 1] é perfeitamente suave, mas f(0) \ne f(1) e f'(x) = 1 nunca é zero. Com extremidades em alturas diferentes, você precisa do Teorema do Valor Médio.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: encontre o c para f(x) = x^2 - 4x + 3 em [1, 3].

Passo 1. Verifique as hipóteses. f é um polinômio, então é contínua e diferenciável em toda parte. f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 e f(3) = 9 - 12 + 3 = 0, logo f(1) = f(3).

Passo 2. Resolva f'(c) = 2c - 4 = 0, o que dá c = 2, que está em (1, 3). O vértice da parábola é o ponto garantido.

Exemplo 2: f(x) = x^3 - 4x em [-2, 2].

f(-2) = -8 + 8 = 0 e f(2) = 8 - 8 = 0, e f é um polinômio. Resolva

Os dois valores estão em (-2, 2), então essa função tem dois pontos onde vale a conclusão de Rolle. O teorema prometia pelo menos um.

Exemplo 3: prove que x^3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma solução real.

Passo 1 (pelo menos uma). f(x) = x^3 + x - 1 é contínua, f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe uma raiz em (0, 1).

Passo 2 (no máximo uma). Suponha que houvesse duas raízes r_1 < r_2. Então f(r_1) = f(r_2) = 0, e o teorema de Rolle daria um c entre elas com f'(c) = 0. Mas f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 para todo x, então f' nunca se anula. Essa contradição mostra que não pode haver duas raízes.

Logo a equação tem exatamente uma solução real. Esse argumento TVI mais Rolle é o uso mais comum do teorema em provas.

Como o teorema de Rolle é demonstrado

Pelo Teorema do Valor Extremo, f tem um máximo e um mínimo em [a, b]. Se os dois ocorrem nas extremidades, então, como f(a) = f(b), a função é constante e f' = 0 em toda parte. Caso contrário, um deles ocorre em um ponto interior c, e o teorema de Fermat dá f'(c) = 0.

Erros comuns

1. Não verificar as hipóteses. Provas muitas vezes perguntam se o teorema de Rolle se aplica. Verifique explicitamente a continuidade, a diferenciabilidade e f(a) = f(b).
2. Dar um c fora de (a, b). Uma solução de f'(c) = 0 fora do intervalo aberto não conta.
3. Achar que o teorema encontra todos os pontos críticos. Ele só garante pelo menos um entre a e b.

Teoremas relacionados

Incline a figura para que as extremidades fiquem em alturas diferentes e você obtém o Teorema do Valor Médio. Para um tratamento completo com aplicações, leia o guia do Teorema do Valor Médio, e veja esboço de gráficos com derivadas para saber onde as tangentes horizontais importam.