Mittelwertsatz: Aussage, Satz von Rolle und c bestimmen

In der Aufgabe steht "Zeige, dass der Mittelwertsatz anwendbar ist, und bestimme alle Werte von c", und der Satz wirkt wie eine abstrakte Existenzaussage ohne erkennbaren Nutzen. Tatsächlich sagt der Mittelwertsatz etwas, das du vom Autofahren längst glaubst, und c zu finden dauert nur etwa vier Zeilen Algebra, sobald du das Muster erkennst.

Was der Mittelwertsatz besagt

Der Mittelwertsatz (MWS) der Differentialrechnung besagt: Auf jedem glatten Abschnitt einer Funktion ist die momentane Änderungsrate mindestens einmal gleich der mittleren Änderungsrate.

Formal: Ist f auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar, dann gibt es mindestens eine Zahl c mit a < c < b, sodass

Die rechte Seite ist die Steigung der Sekante durch (a, f(a)) und (b, f(b)), also die mittlere Änderungsrate. Die linke Seite ist die Steigung der Tangente bei c, also die momentane Änderungsrate. Der Satz sagt also: Irgendwo zwischen a und b ist die Tangente parallel zur Sekante.

Eine Version aus dem Alltag: Du fährst 120 km in genau 2 Stunden. Deine Durchschnittsgeschwindigkeit ist 60 km/h. Du kannst nicht die ganze Zeit langsamer als 60 gefahren sein (dann wärst du nicht angekommen) und auch nicht die ganze Zeit schneller (dann wärst du weiter gekommen). Also warst du in irgendeinem Moment genau 60 km/h schnell.

Der Mittelwertsatz am Graphen

Verschiebe die Sekante seitlich, ohne sie zu drehen. Bevor sie die Kurve ganz verlässt, berührt sie die Kurve in genau einem Punkt. Dieser Berührpunkt ist c.

So bestimmst du c beim Mittelwertsatz

1. Prüfe die Voraussetzungen. Ist f auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar? Polynome, \sin, \cos und e^x sind es immer. Achte auf Nenner, die null werden, Wurzeln aus negativen Zahlen und Beträge.
2. Berechne die mittlere Steigung \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
3. Setze f'(c) gleich dieser Steigung und löse nach c auf.
4. Behalte nur Lösungen mit a < c < b. Verwirf alles außerhalb und auf den Rändern.

Rechenbeispiel 1: eine Parabel

Bestimme c für f(x) = x^2 auf [1, 3].

Schritt 1. f ist ein Polynom, die Voraussetzungen sind also erfüllt.

Schritt 2. f(1) = 1 und f(3) = 9, die mittlere Steigung ist also

Schritt 3. f'(x) = 2x, also 2c = 4 und c = 2.

Schritt 4. 2 liegt in (1, 3). Also ist c = 2.

Bei jeder Parabel ist c immer die Mitte des Intervalls. Das ist eine schöne Kontrolle.

Rechenbeispiel 2: eine kubische Funktion (der Graph oben)

Bestimme alle c für f(x) = x^3 - x auf [0, 2].

Schritt 1. Polynom, die Voraussetzungen sind also erfüllt.

Schritt 2. f(0) = 0 und f(2) = 8 - 2 = 6, die mittlere Steigung ist also \frac{6 - 0}{2 - 0} = 3.

Schritt 3. f'(x) = 3x^2 - 1. Setze das gleich 3:

Schritt 4. -\frac{2}{\sqrt{3}} liegt außerhalb von (0, 2), verwirf es. Die Lösung ist c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155.

Rechenbeispiel 3: eine Quadratwurzel

Bestimme c für f(x) = \sqrt{x} auf [0, 4].

Schritt 1. \sqrt{x} ist auf [0, 4] stetig. Bei 0 ist sie nicht differenzierbar (die Tangente ist dort senkrecht), aber der Satz verlangt Differenzierbarkeit nur auf dem offenen Intervall (0, 4), und die ist gegeben.

Schritt 2. Mittlere Steigung: \frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Schritt 3. f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, also

Schritt 4. 1 liegt in (0, 4). Also ist c = 1.

Der Satz von Rolle: der Spezialfall

Der Satz von Rolle ist der Mittelwertsatz für den Fall, dass beide Endpunkte auf gleicher Höhe liegen. Ist f auf [a, b] stetig, auf (a, b) differenzierbar und gilt f(a) = f(b), dann gibt es ein c in (a, b) mit

Die Sekante ist waagerecht, also ist auch die parallele Tangente waagerecht. Stell dir vor, du wirfst einen Ball senkrecht nach oben und fängst ihn auf derselben Höhe wieder: Am höchsten Punkt ist seine Geschwindigkeit null.

Rechenbeispiel 4: der Satz von Rolle

Überprüfe den Satz von Rolle für f(x) = x^2 - 4x + 3 auf [1, 3] und bestimme c.

Schritt 1. Polynom, also überall stetig und differenzierbar.

Schritt 2. Prüfe die Endpunkte: f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 und f(3) = 9 - 12 + 3 = 0. Sie stimmen überein.

Schritt 3. f'(x) = 2x - 4 = 0 ergibt c = 2, und das liegt in (1, 3).

Ein weiterer Klassiker: f(x) = \sin x auf [0, \pi] hat f(0) = f(\pi) = 0, und f'(c) = \cos c = 0 gilt bei c = \frac{\pi}{2}, dem höchsten Punkt des Bogens.

Wann der Mittelwertsatz nicht gilt

Beide Voraussetzungen sind wichtig. Hier sind zwei Funktionen, bei denen die Aussage scheitert, weil eine Voraussetzung verletzt ist.

Ein Knick. f(x) = |x| auf [-1, 1]. Beide Endpunkte haben den Wert 1, die mittlere Steigung ist also 0. Aber f'(x) ist überall -1 oder 1, außer bei x = 0, wo sie nicht existiert. Kein c funktioniert, weil |x| bei 0 nicht differenzierbar ist.

Eine Unterbrechung. f(x) = \frac{1}{x} auf [-1, 1]. Die mittlere Steigung ist \frac{1 - (-1)}{2} = 1, aber f'(x) = -\frac{1}{x^2} ist immer negativ. Kein c funktioniert, weil f bei 0 nicht einmal definiert (geschweige denn stetig) ist.

Tipp: Wenn gefragt ist, ob der MWS anwendbar ist, nenne die konkrete Stelle und die konkrete Voraussetzung, die verletzt ist. "Bei x = 0 nicht differenzierbar" bringt die Punkte, "es geht nicht" nicht.

Warum der Mittelwertsatz wichtig ist

Der MWS ist die Brücke zwischen der Ableitung und der tatsächlichen Änderung, und er beweist Ergebnisse, die du ständig verwendest:

• Ableitung null heißt konstant. Ist f'(x) = 0 auf einem Intervall, dann gilt f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) = 0 für beliebige a, b, also ändert sich f nie. Deshalb unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur um eine Konstante C.
• Positive Ableitung heißt streng monoton steigend. Ist f' > 0, dann gilt f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0 für b > a. Darauf beruht die Kurvendiskussion.
• Abschätzungen. Angenommen, f(0) = 2 und f'(x) \le 5 für alle x. Wie groß kann f(3) höchstens sein? Nach dem MWS gilt f(3) - f(0) = 3f'(c) \le 15, also f(3) \le 17.

Kurzübersicht

Typische Fehler beim Mittelwertsatz

1. Die Voraussetzungen nicht prüfen. Viele Aufgaben sind so gebaut, dass der Satz nicht anwendbar ist. Prüfe immer zuerst auf Knicke, Polstellen und Probleme mit dem Definitionsbereich.
2. Die falschen Lösungen behalten. In Beispiel 2 löst c = -\frac{2}{\sqrt{3}} die Gleichung, liegt aber nicht in (0, 2). Das Intervall gehört zur Lösung.
3. f und f' verwechseln. Du setzt die Ableitung bei c gleich der mittleren Steigung, nicht f(c).
4. Glauben, der Satz verrate, wo c liegt. Er garantiert nur die Existenz. Finden musst du c durch Auflösen.
5. Differenzierbarkeit an den Rändern verlangen. Nur das offene Intervall zählt, deshalb ist \sqrt{x} auf [0, 4] kein Problem.

Übe, c zu bestimmen

Der MWS wird schnell zur Routine: prüfen, Steigung berechnen, auflösen, aussortieren. Die interaktive Lektion unten gibt dir Funktionen zum Testen, bemerkt Lösungen außerhalb des Intervalls und erklärt dir die Korrektur, sobald ein Schritt schiefgeht. Nach ein paar Runden erkennst du eine verletzte Voraussetzung auf einen Blick.