Regeln der Analysis

Grenzwertsätze \lim_{x \to a}\,[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) Mit den Grenzwertsätzen zerlegst du einen Grenzwert in einfachere Grenzwerte. Alle Regeln mit Voraussetzungen, Rechenbeispielen und typischen Fehlern. Direktes Einsetzen \lim_{x \to a} f(x) = f(a) Grenzwerte durch direktes Einsetzen berechnen: wann es funktioniert, wie du das Ergebnis deutest und was bei 0/0 oder a/0 hilft. Regel von L'Hospital \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} Die Regel von L'Hospital berechnet Grenzwerte der Form 0/0 und ∞/∞, indem Zähler und Nenner abgeleitet werden. Voraussetzungen, Beispiele, weitere Formen.

Konstantenregel \frac{d}{dx}\, c = 0 Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung jeder Konstanten 0 ist. Die Formel, ein einzeiliger Beweis, Beispiele mit π und e und typische Fehler. Potenzregel \frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1} Die Potenzregel: Die Ableitung von x^n ist n·x^(n−1). Formel, Beispiele mit negativen und gebrochenen Exponenten, ein kurzer Beweis und typische Fehler. Faktorregel \frac{d}{dx}\,[c\,f(x)] = c\,f'(x) Die Faktorregel: Die Ableitung von c·f(x) ist c·f'(x). Die Formel, Rechenbeispiele, ein kurzer Beweis und typische Fehler, die Schüler damit machen. Summen- und Differenzregel \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) Die Summen- und Differenzregel: Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet. Die Formel, Rechenbeispiele, ein Beweis und typische Fehler. Produktregel \frac{d}{dx}\,[f(x)\,g(x)] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) Die Produktregel: Die Ableitung von f·g ist f'g + fg'. Die Formel, Rechenbeispiele, die Version mit drei Faktoren, ein kurzer Beweis und typische Fehler. Quotientenregel \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} Die Quotientenregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g². Die Formel, der Merksatz NAZ minus ZAN, Rechenbeispiele, wann man sie umgeht und typische Fehler. Kettenregel \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) Die Kettenregel: Die Ableitung von f(g(x)) ist f'(g(x))·g'(x). Die Formel in beiden Schreibweisen, eine Tabelle typischer Formen, Beispiele und Fehler. Implizites Differenzieren \frac{d}{dx}\,f(y) = f'(y)\,\frac{dy}{dx} Implizites Differenzieren liefert dy/dx, ohne nach y aufzulösen. Die zentrale Regel, vier Schritte, Beispiele mit Tangenten und typische Fehler. Logarithmisches Differenzieren \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\big[\ln y\big] Logarithmisches Differenzieren: beide Seiten logarithmieren, ableiten, mit y multiplizieren. Beispiele für x^x, variable Exponenten und lange Produkte. Ableitung der Umkehrfunktion (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(x)\big)} Die Ableitung der Umkehrfunktion: Die Ableitung von f⁻¹ an der Stelle x ist 1/f'(f⁻¹(x)). Formel, Kehrwert der Steigung, Beispiele mit arcsin und ln.

Umgekehrte Potenzregel \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 Die umgekehrte Potenzregel: Das Integral von x^n ist x^(n+1)/(n+1) + C für n ≠ −1. Formel, Beispiele mit Wurzeln und negativen Exponenten, Sonderfall ln|x|. Linearität des Integrals \int \left[a\,f(x) + b\,g(x)\right]dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx Die Linearität des Integrals: Summen gliedweise integrieren und Konstanten vorziehen. Formeln, Beispiele und typische Fehler bei Produkten und Quotienten. Substitutionsregel \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) Die Substitutionsregel kehrt die Kettenregel um: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Formel, Wahl von u, neue Grenzen bei bestimmten Integralen und Beispiele. Partielle Integration \int u\,dv = uv - \int v\,du Die Formel der partiellen Integration ∫u dv = uv − ∫v du, wie LIATE das u wählt, die Version für bestimmte Integrale und Beispiele mit ln x, x·eˣ und x·cos x. Eigenschaften bestimmter Integrale \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx Die Eigenschaften bestimmter Integrale: Grenzen vertauschen, Intervalladditivität, Symmetrie gerader und ungerader Funktionen und Abschätzungen, mit Beispielen.

Geometrische Reihe \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 Die Formel der geometrischen Reihe: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) für |r| < 1. Partialsummen, die Konvergenzbedingung und Rechenbeispiele. Nullfolgenkriterium \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ divergiert} Das Nullfolgenkriterium: Bilden die Glieder einer Reihe keine Nullfolge, so divergiert die Reihe. Aussage, warum es keine Konvergenz zeigt, und Beispiele. Quotientenkriterium L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert Das Quotientenkriterium: Berechne L = lim |a(n+1)/a(n)|. Für L < 1 konvergiert die Reihe absolut, für L > 1 divergiert sie, L = 1 liefert keine Aussage. Leibniz-Kriterium b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ konvergiert} Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Fällt bₙ monoton gegen 0, so konvergiert die Reihe über (−1)ⁿbₙ. Voraussetzungen, Fehlerschranke und Beispiele.