Sätze der Analysis
Die Sätze, die die Analysis zusammenhalten, präzise formuliert, verständlich erklärt und mit Graphen und Beispielen veranschaulicht.
Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit
Die Sätze, die Grenzwerte und stetige Funktionen verlässlich machen.
Sandwich-Satz
g(x) \le f(x) \le h(x) \implies \lim_{x \to a} f(x) = L
Der Sandwich-Satz: Gilt g ≤ f ≤ h nahe a und haben g und h denselben Grenzwert L, so hat auch f den Grenzwert L. Aussage, Graph und Beispiele.
Zwischenwertsatz
f(c) = N \text{ für ein } c \in (a, b)
Der Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion auf [a, b] nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Aussage, Graph, Gegenbeispiele und Rechenbeispiele.
Satz vom Maximum und Minimum
f(c) \le f(x) \le f(d) \text{ für alle } x \in [a, b]
Satz vom Maximum und Minimum: Eine stetige Funktion auf [a, b] hat ein globales Maximum und Minimum. Aussage, Graph, Gegenbeispiele und Rechenbeispiele.
Sätze der Differentialrechnung
Sätze über Ableitungen, Extremwerte und Änderungsraten.
Satz von Rolle
f'(c) = 0 \text{ für ein } c \in (a, b)
Satz von Rolle: Ist f stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b) und f(a) = f(b), so gibt es ein c mit f'(c) = 0. Graph, Gegenbeispiele, Beispiele.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Der Mittelwertsatz: Eine glatte Funktion auf [a, b] hat einen Punkt, an dem die Tangentensteigung gleich der mittleren Steigung ist. Aussage, Graph, Beispiele.
Satz von Fermat
f'(c) = 0
Satz von Fermat: Hat f in c ein lokales Maximum oder Minimum und existiert f'(c), dann ist f'(c) = 0. Aussage, Graph, Umkehrung und Rechenbeispiele.
Sätze der Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Sätze, die darauf aufbauen.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1
\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)
Hauptsatz Teil 1: Ist f stetig, dann ist die Ableitung des Integrals von a bis x über f(t) dt gleich f(x). Aussage, Graph, Kettenregel und Rechenbeispiele.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 2
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
Hauptsatz Teil 2: Das bestimmte Integral von f über [a, b] ist F(b) − F(a) für jede Stammfunktion F. Aussage, Graph, Gegenbeispiel und Rechenbeispiele.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung: Eine stetige Funktion auf [a, b] nimmt in einem Punkt c ihren Mittelwert an. Aussage, Graph, Gegenbeispiel, Beispiele.
Sätze zu Reihen und mehreren Variablen
Der Satz von Taylor, Konvergenzaussagen und die großen Sätze der mehrdimensionalen Analysis.
Satz von Taylor
f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
Satz von Taylor mit Lagrange-Restglied: wie nah ein Taylorpolynom an f(x) liegt. Aussage, Fehlerabschätzung, Graph und Beispiele mit e und sin x.
Satz von Schwarz
f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)
Satz von Schwarz (Satz von Clairaut): Sind f_xy und f_yx stetig, dann sind sie gleich. Aussage, klassisches Gegenbeispiel, Graph und Rechenbeispiele.
Satz von Green
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA
Der Satz von Green macht aus einem Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve ein Doppelintegral über das Innere. Aussage, Voraussetzungen, Flächenformel.
Gaußscher Integralsatz
\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
Gaußscher Integralsatz: Der Fluss eines Vektorfelds durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Dreifachintegral der Divergenz. Aussage und Beispiele.
Satz von Stokes
\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
Satz von Stokes: Die Zirkulation eines Feldes längs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem Fluss seiner Rotation durch jede berandete Fläche.
Lernen durch Tun
Du kennst die Regel? Jetzt wende sie an.
Jede Nachschlageseite verlinkt auf eine interaktive Lektion, in der du echte Aufgaben mit sofortigem Feedback und Schritt-für-Schritt-Lösungen löst.
Kostenlos lernen